Ecuaciones diofánticas cuadráticas emparejadas

Question

Para un determinado $t\geq4$ ¿tiene solución el siguiente sistema de ecuaciones sobre los números enteros? $$ax^2+by^2=2^{2^t-t}$$$$ cx^2+dy^2=1 $$$$0<|ta|^2,|tb|^2,|tc|^2,|td|^2<|x|,|y|$$

En caso afirmativo, ¿cómo parametrizar las soluciones y encontrarlas?

Para un determinado $x,y:|x|,|y|<B$ ¿Cuántos $a,b,c,d$ ¿están ahí?

Es $gcd(a,b)=1$ ¿Es posible?

Answer 1

Creo que sí. Probablemente infinitamente muchos.

\begin{aligned} x =& 6882627592338442563 \\ y =& 4866752642924153522 \\ a =& 4096 \\ b =& -8192 \\ c =& 1 \\ d =& -2 \\ t =& 4 \\ \end{aligned}

Encontrado de esta manera.

Fijar $c=1,d=-2$ y resolver la ecuación de Pell con grandes $x,y$ .

Entonces $a=2^{2^t-t}$ et $b= -2 \cdot 2^{2^t-t}$ resuelve la primera ecuación.

Añadido

Así que $x^2 - 2 y^2=1$ tienen soluciones arbitrariamente grandes. Fije $t$ .

Entonces $ 2^{2^t-t} (x^2 - 2 y^2) = 2^{2^t-t}$ .