Integral del ángulo entre la tangente y la recta

Question

Tengo un problema como este pero todavía no he descubierto como resolverlo o como se llama este concepto en matemáticas.

Supongamos que tengo una curva continua y diferenciable $S: y=f(x)$ de $A$ a $B$ . $L$ es una línea arbitraria con la fórmula $y=ax+b$ . Para cada punto $M$ en $A-B$ en $S$ , $\alpha$ es el ángulo entre la tangente de $S$ en $M$ et $L$ . ¿Qué es el $\int \alpha(x) \, \mathrm{d}x$ de $A$ a $B$ ?

De hecho quiero encontrar la(s) línea(s) L donde $\int \alpha(x) \, \mathrm{d}x$ es mínimo. Muchas gracias. Creo que esto es irresoluble con las matemáticas, pero fácilmente hacerlo con el ordenador. $\int \alpha(x) \, \mathrm{d}x$ = $\int \arctan{a} \, \mathrm{d}x$ - $\int \arctan{f'(x)} \, \mathrm{d}x$ Y la parte posterior es complicada o irresoluble, lo intenté con wolfram Alpha.

Answer 1

Desde $\arctan(-x) = -\arctan(x)$ et $\arctan$ es estrictamente creciente, si $$ \int_R\arctan(f(x))dx=0 $$ entonces debe ser que $$ \int_R f(x)dx=0 $$ Por lo tanto, si tiene un valor de $a$ tal que $$ \int_A^B \arctan(a-f'(x)) dx = 0 $$ entonces también debe tener $$ \int_A^B (a-f'(x)) dx = 0 $$ por lo que la solución es $a=f(B) - f(A)$ .