medida invariante bajo rotación irracional en $S^1$

Question

Demostrar que si $T:S^1 \to S^1$ es una rotación irracional, entonces la única medida de probabilidad sobre $S^1$ es decir $T-$ invariante es la medida de Lebesgue o un múltiplo de ella. Consideramos la medida de Lebesgue veces $\frac{1}{\pi}$ (de esta forma es una medida de probabilidad) y estamos considerando la $\sigma-$ álgebra de los conjuntos borel restringidos a $S^1$ .

$S^1=\{u\in \mathbb R^2:||u||=1\}$ . Si $T$ se dice que es una rotación irracional, si existe un número irracional $\alpha\in \mathbb R-\mathbb Q$ tal que si $u=(cos t,sin t)$ entonces $Tu=(cos (t+\alpha),sin ((t+\alpha)))$ .

No tengo ni idea de cómo atacar este problema :S. Es evidente que la medida de Lebesgue es invariante bajo rotaciones, pero no sé cómo proceder.

EDITADO: Ahora todas las suposiciones son correctas. Gracias.

Answer 1

Observa que la medida de Lebesgue funciona. Por tanto, nuestro problema se resume en demostrar que es única.

Si se demuestra que cualquier medida de este tipo $\mu$ debe coincidir con la medida de Lebesgue $\lambda$ en los "intervalos", por ejemplo, entonces la unicidad se deduce de Teorema de extensión de Carathéodory .

En primer lugar, demostremos que dicha medida debe ser invariante por CADA rotación. Sea $\alpha \in (0,1]$ . Toma $r_k \in T^n(0)$ con $r_k \uparrow \alpha$ ( $r_k$ aumenta y converge a $\alpha$ ). Ahora, observe que para un "intervalo" $I = \frac{[a,b)}{\mathbb{Z}} \subset S^1$ , $$ \alpha + I = \liminf (r_k + I) = \limsup (r_k + I). $$ Como las medidas de probabilidad son continuas... $$ \mu(\alpha + I) = \lim \mu(r_k + I) = \lim \mu(I) = \mu(I). $$ Esto implica que $\mu$ es invariable por cualquier rotación, porque un intervalo es una unión contable de intervalos como el anterior. Alternativamente, podríamos haber utilizado el hecho de que la medida de cualquier singleton es nula. (¿Por qué?)

Ahora, toma un intervalo de la forma $I = \left[a,a+\frac{1}{n}\right)$ . Desde su $\mu$ es invariante bajo cualquier rotación, los conjuntos $I + \frac{m}{n}$ partición $S^1$ y tienen todos la misma medida $\mu$ . Por lo tanto, $\mu(I) = \frac{1}{n} \lambda(I)$ . Dado que cualquier intervalo es un uninón contable de tales intervalos, $\mu$ y $\lambda$ coinciden en los intervalos. QED

Answer 2

Sea $T_{\alpha}(z) = \exp(2\pi i\alpha)$ estar donde $\alpha \notin\mathbb{Q}$ y $[v,w)\subset S^1$ con $v = exp(2\pi ip)$ y $w = \exp(2\pi iq)$ un intervalo semiabierto en $S^1$ que ha tomado en sentido contrario a las agujas del reloj tal que $l([v,w)) = q-p = \frac{1}{m}$ para algunos $m \in\mathbb{N}$ .

Tomamos $\mu\in M_{T_{\alpha}}(X)$ por regularidad, dado $\epsilon > 0$ existe $F\subset(v,w)$ subconjunto cerrado y $U\supset[v,w]$ subconjunto abierto tal que $\mu((v,w)\backslash F) < \epsilon$ y $\mu(U\backslash [v,w]) < \epsilon$ . Desde $v, w\in U\backslash F$ existe $\epsilon > \delta > 0$ tal que $[v-\delta,v+\delta]\cup[w-\delta,w+\delta]\subset U\backslash F$ y tomamos $u\in [v-\delta,v)$ . Sabemos que la órbita de $u$ es denso en $S^1$ entonces existe $n_1,n_2,n_3\in\mathbb{N}$ con $n_1<n_2<n_3$ tal que $T_{\alpha}^{n_1}u\in(v,v+\delta], T_{\alpha}^{n_2}u\in[w-\delta,w)$ y $T_{\alpha}^{n_3}u\in(w,w+\delta]$ . T $$\displaystyle\bigcup_{k=0}^{m-1}[T_{\alpha}^{n_1+k(n_3-n_1)}u,T_{\alpha}^{n_2+k(n_3-n_1)}u]\subset \bigcup_{k=0}^{m-1}[v.e^{2\pi ik(q-p)},v.e^{2\pi i(k+1)(q-p)})\subset\bigcup_{k=0}^{m-1}[T_{\alpha}^{kn_2}u,T_{\alpha}^{n_3+kn_2}u]$$ Obsérvese que la familia $\{[v.e^{2\pi ik(q-p)},v.e^{2\pi i(k+1)(q-p)})\}_{0\leq k\leq m-1}$ forman una partición de $S^1$ . T $$\displaystyle\sum_{k=0}^{m-1}\mu([T_{\alpha}^{n_1+k(n_3-n_1)}u,T_{\alpha}^{n_2+k(n_3-n_1)}u])\leq 1\leq\sum_{k=0}^{m-1}\mu([T_{\alpha}^{kn_2}u,T_{\alpha}^{n_3+kn_2}u])$$ Desde $\mu$ es $T_{\alpha}-$ invariante foll $$m\mu([T_{\alpha}^{n_1}u,T_{\alpha}^{n_2}u]) \leq 1\leq m\mu([u,T_{\alpha}^{n_3}u])$$ Observe que $F\subset[T_{\alpha}^{n_1}u,T_{\alpha}^{n_2}u]$ y $[u,T_{\alpha}^{n_3}u]\subset U$ . De la condición de regularidad se deduce que $$m\mu([v,w))-m\epsilon < m\mu(U)-m\epsilon < m\mu(F)\leq1\leq m\mu(U) < m\mu(F) + m\epsilon < m\mu([v,w))+m\epsilon$$ S $$\dfrac{1}{m} - \epsilon < \mu([v,w)) < \dfrac{1}{m} + \epsilon$$ A partir de este $\mu([v,w)) = \dfrac{1}{m}$ . En $l([v,w)) = \dfrac{s}{m}$ para algunos $s,m \in\mathbb{N}$ dividimos el intervalo en $s$ intervalos semiabiertos de igual longitud y concluimos por lo anterior que $\mu([v,w)) = \frac{s}{m}$ . Por último, si $[v,w)$ es cualquier intervalo semiabierto, podemos escribirlo como unión empotrada de intervalos semiabiertos con longitud racional. Por continuidad tenemos $\mu([v,w)) = l([v,w))$ .

Finalmente por el teorema de Caratheodory se deduce la $\mu$ debe ser la medida de Haar. Si tenemos una medida finita, utilizamos la medida de probabilidad obtenida de dividir esta medida por la medida del espacio total.

Answer 3

Esto equivale a demostrar que

Si $\int_{S^1}z^nd{\mu}=0,\forall n\neq 0,\int_{S^1}d{\mu}=1$ entonces $\mu $ es la medida de Lebesgue. Y esta afirmación es fácil de conseguir.