Resolver el límite dado sin L'Hospital

Question

$$\lim_{x \to 0} \frac{\log(1+3x)}{x}$$

La pregunta no decía si la base de troncos es $10 $ o $e$ pero parece que la base es $e$ .

Aplico las normas de L'Hopital Así que $\displaystyle\lim_{x\to 0} \frac{3}{1+3x} = 3$ ¿Cuál es la otra forma de resolverlo?

Answer 1

Si conoce la fórmula que $\displaystyle \lim_{y\to 0}\frac{e^y-1}{y}=1$ entonces el problema anterior puede reducirse a una forma más simple sustituyendo $\log(1+3x)=y$ . Dejo el resto como ejercicio para ti.

Answer 2

Tenemos que

$$\frac{\log(1+3x)}{x}=3\frac{\log(1+3x)}{3x}\to 3 \cdot 1=3$$

de hecho como $t\to 0$

$$\frac{\log (1+t)}t=\log(1+t)^\frac1t \to \log e=1$$

ya que a partir del límite fundamental como $n \to \infty, \, \left(1+\frac1n\right)^n\to e$ por $t=\frac1n \to 0$ tenemos $(1+t)^\frac1t \to e$ .

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De otra forma, por la definición de derivada con $f(x)=\log (1+3x) \implies f'(x)=\frac 3{1+3x}$

$$\lim_{x\to 0}\frac{\log(1+3x)}{x}=\lim_{x\to 0}\frac{\log(1+3x)-\log (1)}{x-0}=f'(0)=3$$

Answer 3

Uso de límites $\frac{x}{x+1} \leq \log (1+x) \leq x$ para $x > -1$ (véase Intuición tras la desigualdad de logaritmos: $1 - \frac1x \leq \log x \leq x-1$ ), tenemos $\log(1+3x)/x$ en medio $\frac{3}{3x+1}$ y $\frac{3x}{x}$ cerca de $x=0$ aplique ahora el Teorema de la compresión .

Answer 4

Utilizando $$\ln(1+t) = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n-1} \, t^n}{n}$$ conduce a \begin{align} \lim_{x \to 0} \frac{\ln(1+3 x)}{x} &= \lim_{x \to 0} \frac{3 x - \frac{9 x^2}{2} + \frac{27 x^3}{3} - \mathcal{O}(x^4)}{x} \\ &= \lim_{x \to 0} \left( 3 - \frac{9 x}{2} + 9 x^2 - \mathcal{O}(x^3) \right) \\ &= 3 \end{align}

Answer 5

Este es el límite en $0$ de la tasa de variación de la función $\ln(1+3x)$ por lo que $$\lim_{x \to 0} \frac{\log(1+3x)}{x}=\bigl(\ln(1+3x)\bigl)'=\frac13\frac{1}{1+3x}\bigg|_{x=0}=\frac13.$$