Una integral acotada

Question

Quiero demostrar que existe $K\in\mathbb{R}^+$ tal que $$\left|\int_{1}^x \sin(t+t^7)dt \right|<K$$ para todos $x\ge 1$ . Intuitivamente, estoy bastante seguro de que es cierto, pero no encuentro una prueba formal. ¿Alguna idea?

Answer 1

Sea $f(x) = x + x^7$ y $g(t)$ su función inversa en $[0,\infty)$ . Entonces $$\int_0^x \sin(x + x^7)\ dx = \int_0^{f(x)} \sin(t) g'(t)\ dt$$ Se puede demostrar que $t \to \infty$ , $$g(t) = t^{1/7} - \dfrac{1}{7} t^{-5/7} + O(t^{-11/7})$$ y $$g'(t) = \dfrac{1}{7 g(t)^6 + 1} = \dfrac{1}{7} t^{-6/7} + O(t^{-12/7})$$

Ahora $\int_1^\infty |\sin(t)| t^{-12/7}\ dt < \infty$ . Por otro lado, utilizando Integración por partes, $$ \int_1^R \sin(t) t^{-6/7}\ dt = \left. - \cos(t) t^{-6/7} \right|_1^R - \dfrac{6}{7} \int_1^R \cos(t) t^{-13/7}\ dt$$ y de nuevo el término de la derecha está acotado.