$N$ es una distribución de Poisson con media $4$ . Visite $\operatorname{Var}(N\mid N \geq 4)$

Question

Se le da que $N$ tiene una distribución de Poisson con media $4$ . Visite $\operatorname{Var}(N\mid N \geq 4)$

Intenté utilizar la definición de varianza, donde $\operatorname{Var}(X) = E(X^2) - E(X)^2$

Entonces $P(N\mid N \geq4) = 1-P(N <4) = 1 - \dfrac{71}{3}e^{-4}$

Ahora estoy atascado acerca de cómo utilizar la fórmula anterior para calcular el valor esperado condicional.

Agradecería cualquier ayuda.

Answer 1

Sea $$M = N \mid N \ge 4.$$ Es decir, $$\Pr[M = k] = \frac{\Pr[N = k]}{\Pr[N \ge 4]}, \quad k = 4, 5, \ldots.$$ Entonces $$\operatorname{Var}[M] = \operatorname{E}[M^2] - \operatorname{E}[M]^2 = \sum_{k=4}^\infty k^2 \frac{\Pr[N = k]}{\Pr[N \ge 4]} - \left(\sum_{k=4}^\infty k \frac{\Pr[N = k]}{\Pr[N \ge 4]} \right)^2.$$ Ésta es sólo una forma de hacer el cálculo; no tiene por qué ser la más elegante.

Answer 2

$\newcommand{\var}{\operatorname{var}}\newcommand{\E}{\operatorname{E}}$ Sea $Y=0\text{ or }1$ según $N<4$ o $N\ge 4$ . Para la distribución de Poisson la expectativa es la misma que la varianza, por lo que tenemos $$4 = \var(N) = \var(\E(N\mid Y)) + \E(\var(N\mid Y)).$$ Siguiente $$4 = \E(N) = \E(N\mid N < 4)\Pr(N < 4) + \E(N\mid N \ge 4)\Pr(N\ge 4). \tag 1$$ No es difícil encontrar $\Pr(N<4)$ y para encontrar $\E(N\mid N<4)$ necesitas cuatro probabilidades condicionales: $$\begin{align} \Pr(N=0\mid N<4) & = \frac{e^{-4}}{e^{-4} + 4e^{-4} + \frac{16e^{-4}} 2 + \frac{64 e^{-4}} 6} = \frac 1 {1+4+\frac{16} 2 + \frac{64} 6} = \frac 3{71} \\[8pt] \Pr(N=1 \mid N<4) & = \frac{12}{71} \\[8pt] \Pr(N=2 \mid N<4) & = \frac{24}{71} \\[8pt] \Pr(N=3 \mid N<4) & = \frac{32}{71} \end{align}$$ Así que $\E(N\mid N<3) = 156/71 \approx 2.197\ldots$

$\Pr(N<4)$ se encuentra fácilmente y $\Pr(N\ge 4)$ es $1$ menos eso.

Esto permite encontrar $\E(N\mid N\ge 4)$ .

Entonces tenemos la variable aleatoria $\E(N\mid Y)$ : $$\E(N\mid Y) = \begin{cases} \E(N\mid N<4) & \text{with the probability $p$ found above}, \\ \E(N\mid N\ge 4) & \text{with probablity }1-p. \end{cases}$$ Por lo tanto $$\var(E(N\mid Y)) = \Big( \E(N\mid N<4) - \E(N\mid N\ge 4) \Big)^2 p(1-p).$$

Proceda de forma similar para encontrar el otro término en $(1)$ .