¿Podemos tricromatizar un embaldosado del plano con el einstein de Smith, Meyers, Kaplan y Goodman-Strauss?

Question

El mundo de los azulejos se ha agitado recientemente con la publicación del libro de Smith, Meyers, Kaplan y Goodman-Strauss, titulado papel mostrando un _einstein_ - un polígono simplemente conectado - que debe embaldosar aperiódicamente el plano. Su einstein es un 13-gon cóncavo que han llamado el "sombrero" monotile.

Las figuras del artículo muestran cómo el mosaico es manifiestamente aperiódico: la imagen de arriba es de Kaplan's tuitee anunciando el documento.

Antes creo que en "Juegos matemáticos" en un Scientific American de los años 70, Martin Gardner transmitió una pregunta de John Conway sobre si un mosaico (rómbico) de Penrose del plano podía admitir una tricoloración; la respuesta algorítmica fue afirmativa por parte de Sibley y Wagon . Desenterré unos rombos Penrose de plástico que había comprado hace unos 25 años, y efectivamente sólo venían en tres colores. Es un rompecabezas (sencillo pero divertido) para embaldosar con sólo estos tres colores.

La misma pregunta se puede hacer sobre el SMKG einstein - ¿podemos colorear en tres colores cualquier mosaico con el monotilo de 13 gones anterior? Si es así, ¿podemos dar un algoritmo eficiente?

La construcción es gloriosamente sencilla y podría enseñarse a niños pequeños y brillantes. ¿Cuántos colores se necesitarían para imprimir en 3D un montón de estos?

Añadido más tarde

Como sabemos, cuatro colores bastan pero pueden quedar algunas dudas sobre la facilidad de cuatricromía del monotiling. Jesse Clark sugirió que podría ser fácilmente cuatricromía a lo largo de franjas radiales aquí .

Answer 1

No, no se puede tricolor ese embaldosado.

Aquí hay una parte finita del embaldosado de la página 10 arriba a la izquierda del artículo, la baldosa numerada 2 aquí es la que está oscurecida en esa figura. Esta parte no puede ser tricolor.

Para demostrarlo, partimos de las tres fichas adyacentes marcadas con 0, 1, 2, y llamamos a sus colores amarillo, azul y rojo respectivamente. La baldosa 0 está rodeada por una secuencia de baldosas adyacentes 1, 2, 3, 4, 5, 6, por lo que éstas deben ser de color azul y rojo alternativamente, siendo la 5 azul y la 6 roja. La ficha 7 es adyacente a las fichas 5 y 6, por lo que debe ser amarilla; mientras que la ficha 8 es adyacente a las fichas 1 y 6, por lo que también debe ser amarilla. Ahora la ficha 9 es adyacente a las fichas 6 y 8 y por lo tanto debe ser azul, pero la ficha 10 es adyacente a la 6 y 7 y por lo tanto también debe ser azul, pero la 9 y la 10 son adyacentes por lo que esta coloración no es válida.