Dos polinomios que son "completamente" coprimos

Question

Me gustaría hacer la siguiente pregunta:

¿Es posible encontrar dos polinomios no constantes $p(x), q(x)$ con números enteros tales que $\gcd(p(n), q(m))=1$ para cada $(n, m)\in \mathbb{N}^2$ ?

Si tal $p(x), q(x)$ los llamaremos "completamente" coprimos, ya que todos sus valores serán coprimos.
Obviamente $p(x), q(x)$ no deben tener la misma raíz, pero esto no parece ayudar. El problema parece bastante simple y sospecho que la respuesta es no, pero no he podido demostrarlo.

Answer 1

Permítanme cambiar el nombre a $f$ y $g$ los dos polinomios (que ha llamado $p$ y $q$ en la pregunta), ya que así las anotaciones serán menos confusas.

Es evidente que podemos suponer que $f$ y $g$ son irreducibles y distintos. Sea $K$ sea el campo de descomposición de $fg$ en $\mathbb{Q}$ . Posiblemente excluyendo finitamente muchos primos que dividen el coeficiente principal de $f$ o $g$ o en la que $f$ o $g$ ramifica, para decir que un primo $p$ se divide completamente en $K$ significa que $fg$ tiene $\deg f + \deg g$ raíces en $\mathbb{Z}/p\mathbb{Z}$ y sin duda implica que $f$ y $g$ tienen raíces allí. Ahora, por el teorema de la densidad de Cebotarëv (o algo más débil), hay una densidad positiva de tales números primos, por lo que podemos encontrar $p$ de forma que $f$ y $g$ tienen raíces, digamos $\bar m,\bar n$ en $\mathbb{Z}/p\mathbb{Z}$ . Elevándolos arbitrariamente a enteros, vemos que $p$ divide ambos $f(m)$ y $g(n)$ que, por tanto, no son relativamente primos.

Answer 2

La solución de Gro-Tsen es elegante. He aquí una solución más elemental que no utiliza directamente ninguna teoría algebraica de números. Voy a cambiar los polinomios a $f(x)$ y $g(x)$ . Supondremos que $$\gcd(f(n),g(m))=1 \quad\hbox{for all $ m,nin\mathbb N $ } \qquad(*)$$ y derivar una contradicción. Podemos suponer, WLOG, que $f(x)$ y $g(x)$ no tienen factores comunes en $\mathbb Q[x]$ . Observamos en primer lugar que si existe un primo $p$ que divide la resultante $\operatorname{Res}_x(f(x),g(x))$ alors $f(x)$ y $g(x)$ tienen una raíz común mod $p$ y elevando esa raíz a un número entero $n\in\mathbb N$ encontramos que $p\mid\gcd(f(n),g(n))$ lo que contradice $(*)$ . De forma más general, para cada número entero $m\in\mathbb N$ si existe un primo $p$ dividiendo $\operatorname{Res}_x\bigl(f(x),g(x+m)\bigr)$ entonces podemos repetir el argumento para encontrar un $n\in\mathbb N$ tal que $p\mid\gcd(f(n),g(n+m))$ contradiciendo de nuevo $(*)$ . En resumen, hemos demostrado que $$(*)\quad\Longrightarrow\quad\operatorname{Res}_x\bigl(f(x),g(x+m)\bigr)=\pm1\quad\hbox{for every $ m\in\mathbb N $.}$$

Esto significa que el polinomio $$\operatorname{Res}_x\bigl(f(x),g(x+y)\bigr)^2\in\mathbb Q[y]$$ es idénticamente igual a $1$ para cada $y\in\mathbb N$ lo que significa que es idénticamente igual a $1$ como un polinomio. Tomando raíces cuadradas, para una de las opciones $\epsilon\in\{\pm1\}$ hemos demostrado que $$\operatorname{Res}_x\bigl(f(x),g(x+y)\bigr) = \epsilon.$$ Utilizando propiedades formales estándar de la resultante sobre cualquier anillo (en nuestro caso, el anillo $\mathbb Q[y]$ ), existen polinomios $A(x,y),B(x,y)\in\mathbb Q[x,y]$ satisfaciendo $$A(x,y)f(x) + B(x,y)g(x+y) = \epsilon \quad\text{in the polynomial ring $ \mathbb Q[x,y] $.}$$ Suponemos que $f(x)$ no es un polinomio constante, por lo que tiene una raíz $x_0$ viviendo en alguna extensión finita $K$ de $\mathbb Q$ . (Hay que admitir que esto utiliza un poco de teoría de campos.) Sustituyendo $x=x_0$ encontramos que $$B(x_0,y)g(x_0+y) = 1 \quad\text{in the polynomial ring $ K[y] $.}$$ De ello se deduce que $\deg_yg(x_0+y)=1$ en $K[y]$ y, por tanto, que $\deg_xg(x)=1$ en $\mathbb Q[x]$ . Invertir los papeles de $f$ y $g$ da $\deg_xf(x)=1$ . Hemos reducido así al caso de que $f$ y $g$ son polinomios lineales no constantes, en cuyo caso $f$ y $g$ tienen raíces módulo $p$ para todos los números primos excepto finitos $p$ .