Encuentre el valor que está 90% seguro de que el precio estará por encima de

Question

Me he atascado en un problema y ni siquiera estoy seguro de si voy en la dirección correcta.

El problema es el siguiente "Los precios de mañana de los artículos de una tienda (supongamos una variable aleatoria P distribuida normalmente) vienen dados por $\mu = 10$ y desviación típica $= 2$ " Debo encontrar el valor que soy $90\%$ seguro que el precio estará por encima.

He aplicado la desigualdad de Chebyshev (que puede estar completamente equivocada), y lo he hecho:

$$P(|E - E[X]| \geq k) \leq \frac{\sigma^2}{k^2}$$

Queremos ser $90\%$ Claro, así que $\frac{\sigma^2}{k^2}$ tiene que ser igual a $\frac{1}{10}$ Por lo tanto $\frac{4}{k^2} = \frac{1}{10}$ , $k^2 = 40$ y por lo tanto $k = \sqrt{40}$ .

Si juntamos todo esto, obtenemos $P(|X - 10| \geq \sqrt{40} \leq \frac{1}{10}$

Sin embargo, esto no me da realmente el valor. ¿Algún consejo?

Answer 1

Quieres encontrar el valor $q$ tal que para una variable aleatoria $X$ que tiene $N(10,4)$ distribución que tiene $$0.9=\mathbb{P}(X>q)=P(\frac{X-10}{2}>\frac{q-10}{2})$$

Ahora observe que $Z=\frac{X-10}{2}$ tiene un $N(0,1)$ por lo que se desea encontrar $q$ tal que

$$\mathbb{P}(Z>\frac{q-10}{2})=0.9$$

Un cuadro estadístico da el valor $\frac{q-10}{2}=-1.28$ por lo que se obtiene $q=7.44$

Answer 2

Sea $P \sim N(10,4)$ .

Queremos $P(P \geq k) = 0.9$ que es lo mismo que $1 - P(P \leq k) = 0.9$ o $P(P\leq k) = 0.1$

Para encontrar $k$ primero normalizamos $P$ :

$$Z = \frac{P-\mu}{\sigma} = \frac{P-10}{2} \sim N(0,1)$$

Así que

$$P(P \leq k) = 0.1 \iff P\left(\frac{P-10}{2} \leq \frac{k-10}{2}\right) = 0.1$$

$$\iff P(Z \leq z) = 0.1 \qquad \left(z = \frac{k-10}{2}\right)$$

Utilizando un tabla de distribución normal estándar tenemos $z = -1.3$ así que

$$-1.3 = \frac{k-10}{2} \implies k = 7.4$$