Halla el número de formas de sentar a siete personas alrededor de una mesa circular si se considera que todas las rotaciones de una determinada disposición son iguales.

Question

(a) Halla el número de formas de sentar a siete personas alrededor de una mesa circular si se considera que todas las rotaciones de una determinada disposición son iguales.

(b) ¿De cuántas formas pueden colocarse siete llaves en un llavero circular? (Nota: La diferencia esencial entre las llaves en un llavero y las personas alrededor de una mesa es que las llaves no se opondrán si se da la vuelta a todo el llavero).

(c) Supongamos que el llavero de (b) tiene una cadena enganchada en alguna parte. ¿Cómo cambia eso la respuesta?

Para a) mi respuesta fue $\frac{7!}{6}$ (esto es lo que obtuvo mi profesor), pero no creo que sea correcto. Creo que la respuesta correcta es $\frac{7!}{7}=6!$ .

Para b) Me debato entre $6!$ y $\frac{6!}{2}$ .

Para c) No tengo ni idea de cómo responder a esto.

¿Puede alguien ayudarme con estas preguntas?

Answer 1

Considerando los tres casos diferentes:

1. El número de maneras de sentar a siete personas en una mesa redonda es igual: $$\frac{7!}{7} = 6! = 720$$ No importa dónde se siente la primera persona, ya que todas las rotaciones de una disposición concreta se consideran iguales. Por lo tanto, debemos dividir por $7$ .

2. El número de formas de poner siete llaves en un llavero es igual a: $$\frac{7!}{7 \cdot 2} = \frac{6!}{2} = 360$$ No sólo las rotaciones de una determinada disposición son iguales, también lo son las disposiciones que pueden duplicarse girando el llavero. Por ejemplo, la disposición $A, B, C, D, E, F, G$ es lo mismo que $G, F, E, D, C, B, A$ y $D, C, B, A, G, F, E$ . Por lo tanto, debemos dividir por $7$ y por $2$ .

3. El número de formas de poner siete llaves en un llavero, con una cadena en la anilla, es igual a: $$\frac{8!}{8 \cdot 2} = \frac{7!}{2} = 2520$$ El llavero es un elemento adicional que debe colocarse en el llavero, lo que se traduce en $8!$ arreglos. Las rotaciones de un arreglo se consideran lo mismo, y el llavero puede volver a ponerse boca abajo. Por ejemplo, el arreglo $|, A, B, C, D, E, F, G$ es lo mismo que $G, F, E, D, C, B, A, |$ y $D, C, B, A, |, G, F, E$ . Por lo tanto, debemos dividir por $8$ y por $2$ .

Answer 2

La respuesta para a es $6!$ En primer lugar están $7!$ combinaciones para sentar a la primera persona. Esto cuenta cada combinación $7$ veces, como el número de rotaciones. Se obtiene $7!/7=6!$

Puedes verlo desde otra perspectiva. Primero, sientas a la primera persona. Hay una combinación para hacerlo, ya que todas las sentadas son idénticas. Luego, hay $6!$ combinaciones para sentar a los demás. Por lo tanto, tiene $1 \cdot 6!$ combinaciones en total.