Pregunta sobre la plaza de ruedas de los coches

Question

Es una especie de un infame problema en ecuaciones diferenciales para encontrar la correcta superficie de la carretera, de modo que un coche con llantas cuadradas (y un eje situado en el centro) mantiene su eje, ya que las unidades a lo largo. Espero no ofender a nadie diciendo que una suave pieza de la solución (para una rueda con lados de longitud 2) es $y = -\cosh(x)$

Si usted realmente tomar esta solución y describir la posición de los ejes en cualquier momento dado, a menos he calculado incorrectamente usted encuentra que el eje está siempre colocado directamente sobre el punto en el que la rueda hace contacto con la carretera. He sido incapaz de encontrar una justificación física de este fenómeno y parece que no muy obvio para mí.

Hay una simple razón por la que esto debe ser verdad? Es específico para esta forma de rueda?

Answer 1

La física es que la justificación es bastante simple. El punto de contacto entre la rueda y la carretera es instantáneamente estacionaria. Puesto que la rueda se mueve rígidamente, la velocidad de cualquier punto de la rueda es como si la rueda estuviera girando sobre el punto de contacto. En particular, la velocidad del eje es perpendicular a la línea que une el punto de contacto. Desde que requieren que el eje permanece nivel, la velocidad debe ser puramente horizontal, de modo que tiene que estar directamente por encima del punto de contacto.

Answer 2

Toda una exposición es en Stan Vagón del papel Si se mira en la figura 13, parece que el eje de la elipse no es más que el punto de contacto.

Answer 3

Se supone que es esto en respuesta a Rahul segundo comentario, pero lo tengo muy largo.

Yo supondría que el requisito de la Sala y el Carro para el eje a tener el mismo desplazamiento horizontal como el punto de contacto de la carretera y la rueda es una generalización del concepto de un círculo que rueda sobre una línea. En esa situación es evidente que el eje es hecho directamente por encima del punto de contacto.

Recuerde que a la rodadura sin deslizamiento puede descomponerse como una traducción, seguida de una rotación, y luego otra traducción.

Para el caso de la rueda de forma paramétrica definida como $(x\qquad y)^T=(\sin\;t\qquad 1-\cos\;t)^T$, el eje está inicialmente en $(0\;1)^T$. Si nos fijamos en la expresión

$$\bigl(\begin{smallmatrix}t\\0\end{smallmatrix}\bigr)+\bigl(\begin{smallmatrix}\cos\;t&\sin\;t\\-\sin\;t&\cos\;t\end{smallmatrix}\bigr)\cdot\left(\bigl(\begin{smallmatrix}0\\1\end{smallmatrix}\bigr)-\bigl(\begin{smallmatrix}\sin\;t\\1-\cos\;t\end{smallmatrix}\bigr)\right)$$

(en inglés: traducir el eje hasta el punto en el círculo que será el futuro punto de contacto de la circunferencia con la carretera, girar por un cierto ángulo, y luego traducir por una cantidad igual a la longitud del arco subtendido por dicho ángulo horizontal)

nos encontramos con que todo este lío se simplifica a el vector $(t\qquad 1)^T$, que de hecho tiene la misma coordenada x como el actual punto de contacto $(t\qquad 0)$.