Colocación correcta de los valores en un triángulo

Question

Tarea En un triángulo rectángulo, el lado más corto mide 8,0 centímetros. Sabemos que para el ángulo más pequeño $\alpha^{\circ}$ , $2.4=\frac{1}{\tan{\alpha^{\circ}}}$ . Determinar el lado mayor $c$ .

Vale, me guío por la sensación y decido que el cateto opuesto mide ocho centímetros, y que $\alpha^{\circ}=\tan^{-1}\left(\frac{1}{2.4}\right)$ , $ \alpha^{\circ}$ es el ángulo opuesto al cateto opuesto. Luego calculo el lado mayor $c$ ,

$$\alpha^{\circ}=\tan^{-1}\left(\frac{1}{2.4}\right) =22.62^{\circ}\:$$

$$c=\frac{8}{\sin{22.62^{\circ}}}=21 cm$$

Obtengo la respuesta correcta, mi problema es que la obtengo yendo por sensaciones. ¿Cómo debo interpretar los textos que me dan problemas con triángulos, por ejemplo ¿cómo se averigua qué lado del triángulo es el más pequeño y, en función de la longitud de los lados del triángulo, qué ángulo es el más pequeño, y así sucesivamente? (Y no sólo colocaciones de valores en un triángulo rectángulo, sino en triángulos en general).

Answer 1

En un triángulo rectángulo, $\triangle\text{ABC}$ lo sabemos:

$$ \begin{cases} \left|\text{C}\right|^2=\left|\text{A}\right|^2+\left|\text{B}\right|^2\\ \\ \angle\alpha^\circ+\angle\beta^\circ+90^\circ=180^\circ \end{cases}\tag1 $$

Digamos que el lado más corto es $\left|\text{A}\right|=8$ y $\frac{12}{5}=\frac{1}{\tan\angle\alpha^\circ}$ así que tenemos:

$$\tan\angle\alpha^\circ=\frac{\left|\text{B}\right|}{\left|\text{A}\right|}=\frac{\left|\text{B}\right|}{8}=\frac{5}{12}\space\Longleftrightarrow\space\left|\text{B}\right|=\frac{5\cdot8}{12}=\frac{10}{3}\tag2$$

Entonces, tenemos:

$$\left|\text{C}\right|^2=8^2+\left(\frac{10}{3}\right)^2=\frac{676}{9}\space\implies\space\left|\text{C}\right|=\sqrt{\frac{676}{9}}=\frac{26}{3}\tag3$$