¿Es exacto el functor universal del álgebra envolvente?

Question

El álgebra envolvente universal es un functor de álgebras de Lie a álgebras asociativas unitales, y es adjunto a la izquierda del functor que envía un álgebra asociativa unital a un álgebra de Lie con el soporte dado por el conmutador. Al ser un adjunto por la izquierda, la construcción del álgebra envolvente universal es obviamente exacta por la derecha, pero ¿es exacta por la izquierda? Estaría bien que lo fuera, pero tengo la sensación de que no. Por desgracia, no sé lo suficiente sobre las álgebras de Lie como para pensar en un contraejemplo.

Answer 1

No; ya no preserva los productos finitos. Envía un producto de álgebras de Lie a un producto tensorial de álgebras.