error al sustituir suma por integral

Question

He visto que bastante a menudo en teoría analítica de números, uno quiere sustituir una suma por una integral y luego estimar el error. He visto la siguiente estimación, pero no puedo entender cómo demostrarlo.

Sea $f$ sea una función diferenciable. Dando cualquier intervalo $A< x <B$ en intervalos de longitud $1$ obtenemos: $$ \left | \int_A^B f(x) dx - \sum_{A < y < B} f(y) \right| \leq C \left( (B-A) \max |f^{'} (x) | + \max |f(x)| \right) $$

donde $C$ es una constante y la suma es sobre todos los enteros comprendidos entre $A$ y $B$ .

¿Podría alguien darme alguna pista sobre cómo puedo probar esto? Supongo que de alguna manera usamos el Teorema de Langange de la Media Valye porque podemos obtener $$ |f(x) - f(t) | \leq |x-t| \max |f^{'} (x) | $$

pero no puedo terminar la prueba.

Agradecería cualquier ayuda.

Answer 1

La fórmula sumatoria de Euler-McLaurin establece que si $f:\left(x,y\right]\rightarrow\mathbb{C}$ es una función diferenciable $$\sum_{x<n\leq y}f\left(n\right)=\int_{x}^{y}f\left(t\right)dt+\int_{x}^{y}\left\{ t\right\} f'\left(t\right)dt-\left\{ y\right\} f\left(y\right)+\left\{ x\right\} f\left(x\right)$$ donde $\left\{ t\right\}$ es la parte fraccionaria de $t$ y $\left|\left\{ t\right\} \right|<1.$ S $$\left|\sum_{A<n\leq B}f\left(n\right)-\int_{A}^{B}f\left(t\right)dt\right|=\left|\int_{A}^{B}\left\{ t\right\} f'\left(t\right)dt-\left\{ B\right\} f\left(B\right)+\left\{ A\right\} f\left(A\right)\right|\leq\max_{A<t\leq B}\left|f'\left(t\right)\right|\left(B-A\right)+\left|\left\{ A\right\} f\left(A\right)-\left\{ B\right\} f\left(B\right)\right|\leq\max_{A<t\leq B}\left|f'\left(t\right)\right|\left(B-A\right)+2\max_{A<t\leq B}\left|f\left(t\right)\right|\leq2\left(\max_{A<t\leq B}\left|f'\left(t\right)\right|\left(B-A\right)+\max_{A<t\leq B}\left|f\left(t\right)\right|\right).$$