Expansión de un producto de Kronecker

Question

Sea $\mathbf A$ ser un $n\times n$ matriz, y $\mathbf B$ ser un $nr\times nm$ matriz diagonal de bloques, siendo cada bloque una matriz de tamaño $r\times m$ . Además $\otimes$ denotan el producto de Kronecker.

¿Cómo puedo realizar la siguiente operación?

$$ \mathbf B (\mathbf A \otimes \mathbf I_m ) \mathbf B ^\top?$$

Me gustaría reescribir este término en el siguiente formato

$$ \sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^n F(\mathbf A)G(\mathbf B_i \mathbf B_j^\top),$$

donde $\mathbf B_i$ corresponde al $i$ -en la diagonal de $\mathbf B$ y $F$ y $G$ son operadores lineales.

Answer 1

Si $\{E_{kj}\}$ son los $n\times n$ unidades matriciales, tenemos $$ B=\sum_{k,j=1}^nB_{kj}\otimes E_{kj},\ \ \ A\otimes I_m=\sum_{k,j=1}^na_{kj}I_m\otimes E_{kj}. $$ Entonces \begin{align} B(A\otimes I_m)B^T &=\sum_{k,j,s,t,x,y}B_{kj}a_{st}B_{yx}\otimes E_{kj}E_{st}E_{xy} =\sum_{k,j,t,y}a_{jt}B_{kj}B_{yt}^T\otimes E_{ky}\\ \ \\ &=\sum_{k,y}\left( \sum_{j,t}a_{jt}B_{kj}B_{yt}^T\right)\otimes E_{ky}. \end{align} No sé cómo pretendes ignorar los bloques no diagonales.