Edita: Pido disculpas por no haberme dado cuenta antes del error, pero al menos esto puede servir como ejemplo de cómo evoluciona la ciencia. Si no cometes errores, no estás pensando.
Tendré que desmarcar esta respuesta ya que la pregunta sigue abierta.
La afirmación para escalares complejos es cierta. A mediados o finales de los años 60, no mucho después de la publicación de las memorias de Lindenstrauss, la teoría del "casco inyectivo de un espacio de Banach" fue completamente elaborada. Está bastante bien tratada en la Sección 11 de Lacey, "The Isometric Theory of Classical Banach Spaces". Allí vemos que todo espacio de Banach $X$ se incrusta isométricamente con una "incrustación esencial" en una única $C(K)$ espacio donde $K$ es compacta y extremadamente desconectada (a veces denominada "Stonean"). Por lo tanto, para nuestro teorema basta con demostrar que si $X$ es un $P_{1+\epsilon}$ espacio para cada $\epsilon > 0$ entonces $X$ no tiene una extensión esencial adecuada.
Utilizamos el criterio para las extensiones esenciales dado por Lacey, p. 89: si $X\subset Y$ entonces $Y$ es una extensión esencial de $X$ si y sólo si la única seminorma sobre $Y$ que está dominada por la norma sobre $Y$ e igual a la norma en $X$ es la norma en $Y$ sí mismo.
Para un $P_{1+\epsilon}$ subespacio $X\subset Y$ definimos una seminorma $\rho$ en $Y$ por $$\rho(y) = \inf\{\|P(y)\|: P \: \text{is a projection of}\: Y \: \text{onto}\: X\}.$$
La prueba de la desigualdad del triángulo $\rho(y_1 + y_2)\le \rho(y_1) + \rho(y_2)$ utiliza el siguiente lema: Dado $y_1,\: y_2 \in Y$ que son linealmente independientes (mod $X$ ) y proyecciones $P_1,\: P_2$ de $Y$ en $X$ existe una proyección $P:Y \twoheadrightarrow X$ con $P(y_i) = P_i(y_i),\: i=1,2$ . (Aquí utilizamos el hecho de que $X$ tiene la propiedad de extensión: los operadores lineales acotados en $X$ puede ampliarse). Dado que $X$ es $P_{1+\epsilon}$ para todos $\epsilon > 0$ tenemos $\rho(y) \le \|y\|$ en $Y$ y $\rho(x) = \|x\|$ para $x\in X$ . Pero si $Y$ es una extensión propia de $X$ , $\rho$ no puede ser igual a la norma en $Y$ . Así $Y$ no es una extensión esencial según el criterio mencionado. QED
Nótese que esta demostración es válida para escalares reales y complejos.
[Editar 7/6/2013]: ¡Uy! Acabo de releer esto y me doy cuenta de que la función $\rho$ como se ha definido anteriormente NO satisface en general la desigualdad del triángulo. Creo que el lema, tal como está planteado, es cierto, pero eso no es suficiente para demostrar la desigualdad del triángulo. Puedo proporcionar un contraejemplo si me lo piden, pero debo retirar la afirmación. Todavía tengo esperanzas de que una prueba que demuestre que $X$ no tiene una extensión esencial adecuada se puede encontrar. En particular, como se deduce de la observación anterior sobre el casco inyectivo, basta con demostrar que $X$ no es un subespacio propio por una incrustación esencial en cualquier $C(K)$ con $K$ extremadamente desconectados. Esto equivale a demostrar que, para cualquier incrustación isométrica de $X$ en un subespacio propio de tal $C(K)$ , $K$ tendrá un subespacio cerrado propio que es normativo para $X$ (véase Lacey).
