Evaluación de $y'$ para $y - x^{2}y^{2} - \cos(xy) = 4$

Question

Quiero evaluar la diferenciación implícita del título. Estos son los pasos que he dado:

1. Derivar ambos lados de la ecuación

$$\frac {d}{dx}(y - x^2y^2 - cos(xy)) = \frac {d}{dx}(4)$$

2. Obsérvese que la derivada de una constante es 0

$$\frac {d}{dx}(y - x^2y^2 - cos(xy)) = 0$$

3. Aplicar la regla de la diferencia

$$\frac {d}{dx}(y) - \frac {d}{dx}(x^2y^2) - \frac {d}{dx}(cos(xy)) = 0$$

4. Aplicar la regla de la cadena

$$\frac {d}{dx}(y) - \frac {d}{dx}(x^2y^2) - \left(\frac {d}{dx}cos(xy)*\frac {d}{dx}(xy)\right) = 0$$

5. Aplicar la regla del producto

$$\frac {d}{dx}(y) - \left(\frac {d}{dx}(x^2)y^2 + x^2\frac {d}{dx}(y^2)\right) - \left(\frac {d}{dx}cos(xy)*\left(\frac {d}{dx}(x)y + x\frac {d}{dx} (y)\right)\right) = 0$$

6. Resolver derivadas

$$\frac {d}{dx}(y) - \left(2xy^2 + 2x^2y\frac {dy}{dx}\right) - \left(-sin(xy)*\left(1y + x\frac {d}{dx} (y)\right)\right) = 0$$

7. Factoriza y aísla la derivada de y respecto a x

$$\frac {dy}{dx}(1-2x^2y+xsin(xy)) = 2xy^2 - ysin(xy) \Rightarrow$$ $$\frac {dy}{dx} = \frac {2xy^2 - ysin(xy)}{1+2x^2y+xsin(xy)}$$

¿Es correcto? Y si es así, ¿es éste el mejor enfoque? Además, ¿cómo puedo mejorar mi disertación matemática?

Answer 1

Oye veo que tu solución es casi correcta, pero te has equivocado con el signo. Aquí está el método similar.

1. En primer lugar, derivamos la siguiente ecuación mediante diferenciación implícita. \begin{equation*} \frac{d}{dx} \left( y-x^{2}y^{2} -\cos(xy) = 4 \right) = \frac{d}{dx}(4) \end{equation*}
2. En segundo lugar, sumamos el término diferenciado y gestionamos el factor constante. \begin{equation*} \left( - \left( \frac{d}{dx} \cos(xy) \right) + \frac{d}{dx}(y)-\frac{d}{dx}(x^{2}y^{2}) \right) =\frac{d}{dx}(4) \end{equation*}
3. Aplicamos la regla de la cadena, $\frac{d}{dx}(\cos(xy))=\frac{d\cos(u)}{du}\frac{du}{dx}$ donde $u=xy$ y $\frac{d}{dx}(\cos(u))=-sin(u) $ obtenemos \begin{align*} \frac{d}{dx}(y)-\frac{d}{dx}(x^{2}y^{2})+\frac{d}{dx}(xy)\sin(xy) &= \frac{d}{dx}(4) \\ -\left(\frac{d}{dx}(x^{2}y^{2} \right)+\sin(xy)\left(x\left(\frac{d}{dx}(y) \right) + \left( \frac{d}{dx}(x) \right) y \right)+y'(x) &= \frac{d}{dx}(4) \\ \end{align*}
4. Utiliza la regla del producto, $\frac{d}{dx}(uv) = v\frac{du}{dx}+u\frac{dv}{dx}$ donde $u=x^{2}$ y $v=y^{2}$ : \begin{align*} -\left( x^{2} \frac{d}{dx}(y^{2}) + y^{2}\frac{d}{dx}(x^{2})\right) + \sin(xy)\left(x\frac{d}{dx}(y)+y\frac{d}{dx}(x) \right) y'(x) &= \frac{d}{dx}(4) \end{align*} .
5. Después de toda la sustitución, llegamos a \begin{equation*} (1+x\sin(xy)-2x^{2}y)y'(x) =-sin(xy)y+2xy^{2} \end{equation*}
6. Divide ambos lados por $-2x^{2}y+xsin(xy)+1 $ \begin{equation*} y'(x) = \frac{-sin(xy)y+2xy^{2}}{1+xsin(xy)-2x^{2}y} \end{equation*}

¡Bueno, con cuidado con el cartel!