Si $R$ es un infinito anillo, a continuación, $R$ tiene infinitamente muchos divisores de cero, o no hay divisores de cero

Question

Por favor me ayude a probar que si $R$ es un infinito anillo, a continuación, $R$ tiene un infinito número de divisores de cero, o no tiene divisores de cero.

Answer 1

Sugerencia. Deje $a$ ser un cero divisor. Considere la posibilidad de $\{ a b : b \in R \} \setminus \{ 0 \}$. Este es un conjunto no vacío de cero divisores en $R$. Si es infinito, entonces usted está listo. De lo contrario, es finito; ¿cuáles son las implicaciones de esto? (Use el principio del palomar.)

Answer 2

Aquí está una prueba por contradicción:

Supongamos que hay sólo un número finito de divisores de cero en $R$ y dejar que ellos se $a_1, \ldots, a_n$ y denota el conjunto de estos $A$. Fijar algún elemento $b \in R, b \ne a_i$ todos los $i$. Convencerse de que hay infinitamente muchos elementos $c \in R, c \ne a_i$ todos los $i$ tal que $b-c \ne a_i$ todos los $i$, y deje $C$ el conjunto de estos. Dado $x \in R$ que no es un divisor de cero, debemos tener ese $a_i \mapsto x a_i$ es un bijection de $A$ lo contrario $x$ sería un divisor de cero. Pero entonces, dado que hay sólo un número finito de bijections de $A$ desde $A$ es finito, y hay infinitamente muchos elementos en $C$, vemos que podemos encontrar un elemento $y$ $C$ que da el mismo bijection de $A$$b$ , pero, a continuación, $(b-y)a_i = b a_i - y a_i = 0$ por lo tanto $b-y$ es un divisor de cero, una contradicción.