¿Cuántas formas hay de distribuir a los humanos en habitaciones?

Question

¿De cuántas maneras podemos distribuir $10$ humanos en $4$ habitaciones si:

• Habitaciones $1$ y $2$ necesita $3$ humanos.

• Habitaciones $3$ y $4$ necesita $2$ humanos.

Supongo que hay ${10\choose 3}$ formas de elegir a los humanos en la primera sala. Entonces ${7\choose 3}$ formas de habitación $2$ etc.

Así que tengo ${10\choose 3}{7\choose 3}{4\choose 2}{2\choose 2} = 25200$

¿Está bien?

Answer 1

Sí, esto es bueno, si mantenemos las habitaciones distintas entre sí.

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Si Habitación $1$ y $2$ eran indistinguibles entre sí, y lo mismo para la Sala $3$ y Habitación $4$ entonces tendríamos que dividir nuestra respuesta final por $(2)(2)=4$ .

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Digamos que estas habitaciones son distinguibles, pero necesitamos al menos $1$ persona en cada uno.

Podemos hacerlo fácilmente utilizando estrellas y barras. Primero colocamos $1$ persona en cada uno, y tenemos $6$ personas abandonadas en $4$ habitaciones. Disponemos de $3$ "bares", y así podemos ordenar los bares y estrellas[personas] en $\displaystyle \binom{9}{3}$ maneras.

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Si las habitaciones también son indistinguibles, entonces necesitamos el número de particiones de $10$ que tienen $4$ añade.

Ni siquiera voy a tratar de encontrar esto, pero se puede buscar - aunque creo que es $9$ particiones distintas.