Al hacer algunos problemas de práctica, descubrí que los puntos de bifurcación de algunas funciones son los puntos donde no están definidas y en el infinito. Por ejemplo, para $\sqrt z$ los puntos de ramificación son 0 e infinito. En 0 la función es indefinida. En $log(z-1/z+1)$ los puntos de ramificación son -1, 1 e infinito. ¿Es una coincidencia? ¿Puedo utilizar este truco? Gracias.
Respuesta
¿Demasiados anuncios?
Para las funciones complejas, una singularidad es cuando una función deja de ser analítica. Ser analítica en un punto significa tener una derivada y ser de valor único en una vecindad alrededor de ese punto. Todos los puntos de bifurcación, por definición, están junto a puntos de valor múltiple. Por tanto, una función no es analítica en un punto de bifurcación, lo que significa que todos los puntos de bifurcación son singularidades. Lo contrario no es necesariamente cierto: una singularidad no tiene por qué ser un punto de bifurcación. Algunos ejemplos: $\sqrt{z}$ tiene puntos de bifurcación en $0$ y $\infty$ aunque pueda parecer que se comporta bien en cero. Y $\log{[(z-1)/(z+1)]}$ (que creo que es a lo que te referías, ver nota) no tiene un punto de ramificación en $\infty$ sólo $\pm1$ . Además, piense en $1/z$ . Tiene claramente una singularidad en el origen, pero no tiene puntos de bifurcación.
Aunque puede resultar tentador pensar que las singularidades deben ser siempre puntos de bifurcación, en general no es cierto. El truco para identificar los puntos de bifurcación consiste en conocer los puntos de bifurcación de las funciones básicas y, a continuación, convertir las funciones complicadas en esas formas básicas. Por ejemplo, cuando vemos $\sqrt{z-1}$ simplemente dejamos que $w = z-1$ para convertirlo en $\sqrt{w}$ . Sabemos que $\sqrt{w}$ tiene un punto de bifurcación en cero, y cuando $w=0$ , $z=1$ por lo que hay un punto de bifurcación en $z=1$ . Comprobar el punto en el infinito requiere un poco más de astucia. Una forma es hacer la sustitución $x=1/z$ y luego ver si $x=0$ es un punto de bifurcación, lo que implicaría que $z=\infty$ es un punto de bifurcación.
Nota: $\log{\left(z-\frac{1}{z}+1\right)}$ es un caso interesante y resulta que tiene puntos de bifurcación en $0$ , $(-1\pm\sqrt{5})/2$ y $\infty$ . La raíz negativa es la proporción áurea. Es divertido verla aparecer.
