¿Cuál es la probabilidad de que la próxima moneda salga cara?

Question

Elegí al azar entre 2 monedas. Una de las monedas tiene 0,8 probabilidades de salir cara y 0,2 de salir cruz. La otra es una moneda justa que tiene una probabilidad de 0,5 de salir cara o cruz.

Lanzo esta moneda dos veces y obtengo 2 caras. Cuál es la probabilidad de que la próxima vez salga cara?

Intenté usar el Teorema de Bayes:

$$ P(H|HH) = \frac{P(HH|H)P(H)}{P(HH)} $$

Pero entonces $P(HH|H)$ no es fácil de resolver...

Answer 1

Sea $HH$ sea el caso de que obtengamos $2$ cabezas en fila. Deja que $H_3$ en el caso de que el tercer lanzamiento salga cara. Queremos que $\Pr(H_3|HH)$ . Quizá partamos de algo un poco más sencillo que el Teorema de Bayes que has utilizado, esencialmente la definición de probabilidad condicional: $$\Pr(H_3|HH)=\frac{\Pr(H_3 \cap HH)}{\Pr(HH)}.$$

Calculamos las dos probabilidades de la derecha. Para $\Pr(HH)$ observe que dos cabezas seguidas ocurren con probabilidad $(4/5)^2$ si usamos la moneda divertida, y con probabilidad $(1/2)^2$ si la moneda es la ordinaria. De ello se deduce que $$\Pr(HH)=\frac{1}{2}\left(\frac{4}{5}\right)^2+\frac{1}{2}\left(\frac{1}{2}\right)^2.$$

Un cálculo similar nos da la probabilidad de $HH$ seguido de $H_3$ : $$\Pr(HH\cap H_3)=\frac{1}{2}\left(\frac{4}{5}\right)^3+\frac{1}{2}\left(\frac{1}{2}\right)^3.$$ Divide.

Answer 2

Si tuvieras monedas $A$ (la graciosa), tendrías una probabilidad de 0,64 de dos caras; si tuvieras la moneda $B$ (la justa), tendrías una probabilidad de 0,25 de dos caras. Suponiendo que haya elegido entre $A$ y $B$ equiprobablemente, su probabilidad de tener moneda $A$ es $${0.64\over 0.25+0.64} = {64\over 89}$$

y su probabilidad de tener moneda $B$ es $1-{64\over 89} = {25\over 89}$ .

Su oportunidad de conseguir una cabeza en el siguiente flip es, por tanto $${64\over 89}\cdot \frac45 + {25\over 89}\cdot \frac12={637\over 890}\approx 71.6\%.$$