Declaración
Si $c:\mathcal P(X) \to \mathcal P(X)$ es un operador de cierre en $X$ entonces el conjunto $\tau=\{U \in \mathcal P(X) : c(X \setminus U)=X \setminus U\}$ es una topología en $X$ .
Primero déjame escribir las propiedades de un operador de cierre
1) $c(\emptyset)=\emptyset$ ,
2) si $A \in \mathcal P(X)$ entonces $A \subset c(A)$ ,
3)si $A \in \mathcal P(X)$ entonces $c(c(A))=c(A)$ ,
4) si $A, B \in \mathcal P(X)$ entonces $c(A \cup B)=c(A) \cup c(B)$
Usando estos axiomas, podría demostrar $X \in \tau$ e intersección finita de elementos en $\tau$ permanece en $\tau$ .
No pude mostrar $\emptyset \in \tau: c(X \setminus \emptyset)=c(X)$ Ahora no estoy tan seguro de qué axiomas podría usar para demostrar $c(X)=X$ .
Y para la unión arbitraria de elementos en $\tau$ Tengo que demostrar que $c(X \setminus \bigcup_{i \in I} U_i)=X \setminus \bigcup_{i \in I} U_i$ . La inclusión $X \setminus \bigcup_{i \in I} U_i \subset c(X \setminus \bigcup_{i \in I} U_i)$ se cumple en 2), ¿cómo podría demostrar la otra inclusión?
Agradecería cualquier ayuda.
