Aritmética de covarianza

Question

$\newcommand{\Cov}{\operatorname{Cov}}$ Dado :

• $X$ , $Y$ , $S$ son independiente variables aleatorias.
• $X \sim U(-1,1)$
• $Y \sim \exp(2)$
• $S \sim N(4,3^2)$

Encuentra: $$ \Cov((X^2-1)Y + X^3S, X) $$

Tengo que hacerlo:

\begin{align} & \Cov((X^2-1)Y + X^3S, X) \\[10pt] = {} & \Cov(X^2Y,X) - \Cov(Y,X) + \Cov(X^3S,X) \\[10pt] = {} & \Cov(X^2Y,X) + \Cov(X^3S,X) \end{align}

Ahora tengo problemas para calcular las dos covariencias.

Gracias.

Answer 1

Para $\text{Cov}(X^3S,X)$ necesitamos $E(X^4S)-E(X^3S)E(X)$ . Es fácil comprobar que $E(X)=0$ .

Así que queremos $E(X^4S)$ que por independencia es $E(X^4)E(S)$ . Por fin, $E(X^4)$ se calcula fácilmente, es $\frac{1}{10}$ y $E(S)$ es conocido.

El cálculo de $\text{Cov}(X^2Y,X)$ es similar pero un poco más simple.