Teorema de Denjoy-Riesz en 3D

Question

En Teorema de Denjoy-Riesz establece que todo subconjunto totalmente desconectado de $\Bbb R^2$ es el subconjunto de un arco de Jordan.

¿Es esto cierto en $\Bbb R^3$ ? Originalmente pensé Collar de Antoine sería un contraejemplo, pero ahora he cambiado de opinión. (Suponiendo que no sea un contraejemplo, la curva de Jordan resultante sería una curva muy arco salvaje .)

Answer 1

No sé la respuesta a la pregunta, pero tienes razón en que el collar de Antoine no es un contraejemplo. El collar está contenido en una esfera con cuernos de Antoine y, por tanto, el teorema 2d Denjoy-Riesz demuestra que el collar se encuentra dentro de una curva de Jordan.