Sea $u:\mathbb{C} \rightarrow \mathbb{R}$ .
Demostrar que $u$ es una función armónica si $u(z) = f(z) + g(\bar{z})$ donde $f,g$ son funciones holomorfas.
Estaría feliz por un pista
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La parte "si" se deduce inmediatamente de las ecuaciones de Cauchy-Riemann. Para demostrar la parte "sólo si", considerando las ecuaciones de Cauchy-Riemann, por favor, intente encontrar la función armónica conjugada $v$ de $u$ que cumple que $h=u+iv$ es holomorfa.
Observación : Hay varias formas de construir $v$ (o $h$ equivalentemente) una vez $u$ se da. Una forma es definir $v$ como una integral de línea: $v(z)=\int_0^z(u_ydx-u_xdy)$ donde el valor de la integral es independiente de la elección del camino, porque $u$ es armónico en $\mathbb{C}$ . Una forma alternativa se basa en la siguiente observación. Si $h=u+iv$ es holomorfa, entonces $h'=u_x+iv_x=u_x-iu_y$ . Ahora bien $u$ armónico en $\mathbb{C}$ , $u_x-iu_y$ satisface las ecuaciones de Cauchy-Riemann, por lo que debe ser holomorfa. Entonces existe una única $h:\mathbb{C}\to\mathbb{C}$ holomórfica, tal que $h'=u_x-iu_y$ y $h(0)=u(0)$ . Tenga en cuenta que $u$ es la parte real de $h$ Así que $f$ y $g$ puede construirse en términos de $h$ .
Nick
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Hay otra explicación de por qué esto debería ser cierto.
Consideremos en primer lugar el correspondiente problema de "valor real". Si se tiene una función suave de dos variables, $U:\mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}$ tal que $\frac{\partial^2}{\partial x \partial y} U(x,y) = 0$ es fácil demostrar que $U(x,y) = F(x) + G(y)$ para algunos $F,G:\mathbb{R} \to \mathbb{R}$ construyendo dichas funciones explícitamente.
Ahora bien, puesto que $\Delta = 4 \frac{\partial^2}{\partial z \partial \overline z} $ y $z$ y $\overline z$ son algebraicamente independientes, puedes intentar hacer lo mismo con una función armónica. La única cosa técnica que necesitas es que cualquier función armónica es analítica real, por lo tanto tiene una continuación analítica en una vecindad de $\mathbb{R}^2 \subset \mathbb{C}^2$ . Ahora sólo hay que expresar esta función analítica $U$ de $x$ y $y$ en términos de $z=x+iy$ y $z^\prime=x-iy$ , tratando esencialmente $z$ y $z^\prime$ como independientes (por supuesto, en $\mathbb{R}^2$ tenemos $z^\prime = \overline{z}$ pero esto ya no es válido en $\mathbb{C}^2$ ). Obsérvese que $\frac{\partial^2}{\partial z \partial z^\prime} U = 0$ e intenta hacer lo mismo que harías en el caso real, lo que debería dar como resultado $U(z,z^\prime) = F(z)+G(z^\prime)$ con $F$ y $G$ analítica compleja. Luego restringirlos de nuevo a $\mathbb{R}^2$ .
