Símbolo de Christoffel y derivada parcial de la métrica

Question

Puede parecer una pregunta tonta pero estoy intentando resolver un problema que implica transformaciones de coordenadas sobre el símbolo de Christoffel y para resolverlo hacen la regla del producto $$\partial_\alpha g_{\beta ' \gamma '} = \frac{\partial}{\partial x^{\alpha}} \left(\frac{\partial x^{\gamma}}{\partial x^{\gamma '}} \frac{\partial x^{\beta}}{\partial x^{\beta '}} \right)g_{\beta \gamma} + \frac{\partial x^{\gamma}}{\partial x^{\gamma '}} \frac{\partial x^{\beta}}{\partial x^{\beta '}} \frac{\partial x^{\nu}}{\partial x^{\alpha }} \partial_{\nu} g_{\beta \gamma}.$$

Entiendo que tenemos que tomar la regla del producto, pero no entiendo por qué el segundo término es $\frac{\partial x^{\gamma}}{\partial x^{\gamma '}} \frac{\partial x^{\beta}}{\partial x^{\beta '}} \frac{\partial x^{\nu}}{\partial x^{\alpha }} \partial_{\nu} g_{\beta \gamma}$ y no $\frac{\partial x^{\gamma}}{\partial x^{\gamma '}} \frac{\partial x^{\beta}}{\partial x^{\beta '}} \frac{\partial}{\partial x^{\alpha }} g_{\beta \gamma}$ . ¿Dónde está el $\frac{\partial x^{\nu}}{\partial x^{\alpha }}$ ¿De dónde viene?

Answer 1

En realidad, las dos expresiones son la misma. Observe que $$\frac{\partial x^{\nu}}{\partial x^{\alpha }} \partial_{\nu} = \frac{\partial x^{\nu}}{\partial x^{\alpha }} \frac{\partial}{\partial x^{\nu}} = \frac{\partial}{\partial x^{\alpha}}.$$