¿Cuál es la resolución real del $U(1)_A$ ¿Problema?

Question

Para recapitular el problema, consideremos la QCD con tres sabores de quark sin masa. Existe una simetría $$SU(3)_L \times SU(3)_R \times U(1)_L \times U(1)_R$$ que corresponden a rotaciones independientes de los campos quark quiral izquierdo y quark quiral derecho. Las simetrías vectoriales son el subconjunto $$SU(3)_V \times U(1)_V$$ que hacen girar los campos de quarks quirales izquierdo y derecho de la misma manera, mientras que la simetría axial $U(1)_A$ gira los campos en direcciones opuestas. Por último, definimos $SU(3)_A$ por $$SU(3)_A = SU(3)_L \times SU(3)_R / SU(3)_V$$ y convencionalmente lo llamamos "grupo de simetría axial", aunque no es más que un coset. Todas estas simetrías excepto $U(1)_V$ se rompen explícitamente por las masas de los quarks, pero podemos tratar esto como un efecto pequeño e ignorarlo a continuación.

La formación del condensado quiral rompe espontáneamente la simetría a $SU(3)_V \times U(1)_V$ por lo que deberíamos tener $8 + 1$ Bosones de Goldstone debidos a $SU(3)_A$ y $U(1)_A$ . En $U(1)_A$ problema es el hecho de que no existe un bosón de Goldstone que le corresponda. El candidato es el $\eta'$ que es mucho más pesado que el $8$ otros.

Según la mayoría de los libros de texto, la resolución del $U(1)_A$ problema es que el $U(1)_A$ es anómala por una $U(1)_A SU(3)^2$ diagrama triangular, y por tanto no es una verdadera simetría de la teoría cuántica de campos. Como no es una simetría, no puede romperse espontáneamente.

No me lo creo. El problema es que $SU(3)_A$ es también anómala, aproximadamente en la misma cantidad. Por ejemplo, el $U(1)$ subgrupo de $SU(3)_A$ correspondiente al pión $\pi^0$ tiene un $U(1) U(1)_{\text{EM}}^2$ anomalía que explica el rápido decaimiento $\pi^0 \to \gamma \gamma$ . Esto es importante porque así es como se descubrieron las anomalías en primer lugar. Así que, según este razonamiento, el pión también debería ser pesado, pero no lo es.

¿Qué distingue a $U(1)_A$ ¿Aquí? ¿Es la anomalía por sí sola realmente la solución al $U(1)_A$ ¿Problema?

Answer 1

Intentamos comprender por qué el $\eta'$ adquiere una masa en QCD pura (sin campos externos). De hecho, esto se explica por la $U(1)_A\times [SU(3)]^2$ anomalía. Tenga en cuenta que la $SU(3)$ es la simetría gauge QCD, por lo que no podemos desactivar estos campos. La anomalía en el $U(1)_A$ es proporcional a $G_{\mu\nu}\tilde{G}^{\mu\nu}$ que es una divergencia total. Esto no es un impedimento, porque QCD tiene topológica $|n\rangle$ sectores, y la función de partición en presencia de una topología $\theta$ -término ${\cal L}_\theta\sim\theta G_{\mu\nu}\tilde{G}^{\mu\nu}$ tiene $\theta$ dependencia. El término topológico tiene un valor de expectativa de vacío evanescente (QCD no rompe espontáneamente CP), pero el término $\eta'$ está controlada por la susceptibilidad asociada (con una salvedad, explicada por Witten y Veneziano) $$ \chi_{top} \sim \frac{1}{V} \int d^4x\, \langle G_{\mu\nu}\tilde{G}^{\mu\nu}(0)G_{\alpha\beta}\tilde{G}^{\alpha\beta}(x)\rangle . $$ Esta cantidad es del orden $\Lambda_{QCD}^4$ y, en consecuencia, el $\eta'$ adquiere una masa comparable a la de otros bosones que no son de Goldstone.

La QCD pura tiene un $SU(3)_L\times SU(3)_R$ simetría de sabor, que puedo tratar de gauge (débilmente). Encontramos que esta simetría es anómala, y en la fase quebrada quiral esta anomalía puede ser representada por un término Wess-Zumino, que (entre otras cosas) reproduce el $\pi^0\to 2\gamma$ decadencia. Puedo preguntar si esta anomalía contribuye a la masa del $\pi^0$ . Nótese que 1) el EM ciertamente contribuye a la masa de los bosones de Goldstone cargados, 2) la anomalía es de nuevo proporcional a $F_{\mu\nu}\tilde{F}^{\mu\nu}$ que es un término de superficie (pero la QED no tiene sectores topológicos). Por último, en el modelo estándar $SU(2)_L\times U(1)_Y$ es gauged, pero la anomalía QCD (representada por el término Wess-Zumino) es cancelada por los leptones.

P.D.: Una explicación de por qué el $\pi^0$ no adquiere una masa (en lenguaje más moderno) también se da aquí.