Operadores normales en espacios de Hilbert

Question

Sea $H$ sea un espacio de Hilbert separable y sea $T:H\to H$ sea un mapa lineal continuo tal que exista una base ortonormal de $H$ que consiste en los vectores propios de $T$ . Demuestre que $T$ es normal. Es decir $T^*T = TT^*$

Agradecería cualquier sugerencia.

Answer 1

Fijar $\{v_j\}$ una base ortonormal de vectores propios de $T$ . Tenemos $Tv_k=\lambda_kv_k$ donde $\lambda_k$ es el valor propio correspondiente. Esto da para cada $j$ , $$\langle T^*v_j,v_k\rangle=\langle v_j,Tv_k\rangle =\bar \lambda_k\delta_{j,k}.$$ Como la secuencia $\{v_j\}$ abarca un subespacio denso, tenemos que $T^*$ está completamente determinada. Por acotación y linealidad, sólo necesitamos mostrar la relación $$\forall k, TT^*v_k=T^*Tv_k.$$