Cómo calcular la integral $\int e^x·\sqrt{1+e^x}$

Question

$\int e^x·\sqrt{1+e^x}\,dx$

¿Puede alguien explicarme cómo funciona esta integral?
He probado la integración por partes, pero no me da una respuesta clara.
Nuestro profesor me ha dicho que deberíamos utilizar la sustitución, pero si sustituyo " $ 1+e^x$ " por ejemplo, sigo sin poder calcularlo por integración por partes...

Answer 1

Sustituir $1+e^{ x }=u$ entonces $du={ e }^{ x }dx$

$$\\ \\ \int e^{ x }\sqrt { 1+e^{ x } } \,dx=\int \sqrt { u } \,du=\frac { 2u\sqrt { u } }{ 3 } +C=\\ =\frac { 2 }{ 3 } { \left( { e }^{ x }+1 \right) }^{ \frac { 3 }{ 2 } }+C$$

Answer 2

Hacer la sustitución $1+e^x=t$ y $e^x\,\mathrm dx=\mathrm dt$ .