$f: \mathbb R \to \mathbb R$ función diferenciable s.t. $|f'(x)| \le 100$ para todos $x \in \mathbb R$ . Prueba $f$ uniformemente continua.

Question

Sea $f: \mathbb R \to \mathbb R$ sea una función diferenciable tal que $|f'(x)| \le 100$ para todos $x \in \mathbb R$ . Demostrar que $f$ es uniformemente continua.

No sé cómo empezar esta prueba. Sé que la prueba va a tener el siguiente razonamiento en algún lugar de la prueba, pero estoy teniendo problemas para poner las piezas juntas:

Si utilizamos el teorema del valor medio, entonces tenemos $$\left| \frac{f(b)-f(a)}{b-a}\right|=\left| f'(c) \right| \le 100.$$

Así que.., $$\left| \frac{f(b)-f(a)}{b-a}\right| \le 100.$$ Lo que implica $$|f(b)-f(a)|\le 100|b-a| < 100 \delta.$$

Por lo tanto, si dejamos que $100\delta =\epsilon$ podemos utilizar $\delta= \epsilon /100$ en la definición de continuidad uniforme.

Sin embargo, estoy teniendo problemas en la parte inicial de la prueba. ¿Cómo puedo utilizar $|x-x_0| < \delta$ en el teorema del valor medio? O tal vez tenga que utilizar $|x-x_0| < \delta$ ¿después de utilizar el teorema del valor medio?

Tengo problemas porque la MVT se plantea en términos de un intervalo cerrado. Cómo puedo trabajar en este intervalo cerrado para invocar MVT en la prueba?

Answer 1

Tu razonamiento casi se está cumpliendo: $|f(x)-f(y)|\leq 100|x-y|<100\delta=\epsilon$ siempre que $|x-y|<\delta=\epsilon/100$ .

Estos son los pasos adecuados: Arreglar un $\epsilon>0$ para cada $x,y$ con $|x-y|<\epsilon/100$ entonces existe alguna $\eta_{x,y}$ se encuentra entre $x$ y $y$ tal que $|f(x)-f(y)|=|f'(\xi_{x,y})||x-y|$ Así que $|f(x)-f(y)|<\epsilon$ .