¿Cómo encontraría la función de transferencia de este circuito?

Question

Sé que puedo tomar el inductor y la resistencia y encontrar la impedancia de ellos en paralelo. Pero, ¿qué hago con la resistencia R3? ¿Tengo que hacer un análisis nodal y resolver la salida de tensión? ¿O puedo decir que no fluye corriente a través de R3 porque el circuito está abierto, y luego utilizar sólo los valores de R1 y L || R2 en mi cálculo de Vout?

Answer 1

Como usted ha dicho, el circuito está abierto. Aquellos, no fluye corriente a través de R3 y se puede ignorar. Sólo tiene que utilizar divisor de tensión de R1 y (R2||L)

Answer 2

Redibuja tu circuito con una impedancia de carga \$Z_{load}\$ . Si el circuito de salida está realmente abierto, entonces \$Z_{load}\to\infty\$ y los siguientes resultados seguirán siendo válidos.

simular este circuito - Esquema creado con CircuitLab

Ecuaciones de los nodos: $$ \begin{cases} \frac{v_x-v_i}{R_1} + \frac{v_x}{j\omega L} + \frac{v_x}{R_2} + \frac{v_x-v_o}{R_3}=0 \\ \frac{v_o-v_x}{R_3} + \frac{v_o}{Z_{load}} = 0 \end{cases} $$

$$ \begin{cases} v_i = \left(1 + \frac{R_1}{j\omega L} + \frac{R_1}{R_2} + \frac{R_1}{R_3}\right){v_x}-\frac{R_1}{R_3}v_o \\ v_x = \left(1+\frac{R_3}{Z_{load}}\right)v_o \end{cases} $$

$$ v_i = \left(\left(1 + \frac{R_1}{j\omega L} + \frac{R_1}{R_2} + \frac{R_1}{R_3}\right)\left(1+\frac{R_3}{Z_{load}}\right) - \frac{R_1}{R_3}\right)v_o $$

$$ T(j\omega)=\frac{v_o}{v_i}= \frac{1}{\left(1 + \frac{R_1}{j\omega L} + \frac{R_1}{R_2} + \frac{R_1}{R_3}\right)\left(1+\frac{R_3}{Z_{load}}\right) - \frac{R_1}{R_3}} $$

Depende de usted simplificar más. El caso de circuito abierto hace \$R_3\$ irrelevante:

$$ T(j\omega | Z_{load}\to\infty)= \frac{1}{1 + \frac{R_1}{j\omega L} + \frac{R_1}{R_2}} $$

Answer 3

En primer lugar, presentaré un método general para encontrar su función de transferencia. Esto será de la misma manera que @VicenteCunha lo hizo, pero usaré Mathematica para hacerlo.

Bien, estamos intentando analizar el siguiente circuito:

simular este circuito - Esquema creado con CircuitLab

Cuando utilizamos y aplicamos KCL podemos escribir el siguiente conjunto de ecuaciones:

$$ \begin{cases} \text{I}_1=\text{I}_2+\text{I}_5\\ \\ \text{I}_5=\text{I}_3+\text{I}_4\\ \\ \text{I}_6=\text{I}_3+\text{I}_4\\ \\ \text{I}_1=\text{I}_2+\text{I}_6 \end{cases}\tag1 $$

Cuando utilizamos y aplicamos Ley de Ohm podemos escribir el siguiente conjunto de ecuaciones:

$$ \begin{cases} \text{I}_1=\frac{\text{V}_\text{i}-\text{V}_1}{\text{R}_1}\\ \\ \text{I}_2=\frac{\text{V}_1}{\text{R}_2}\\ \\ \text{I}_3=\frac{\text{V}_1}{\text{R}_3}\\ \\ \text{I}_4=\frac{\text{V}_1-\text{V}_2}{\text{R}_4}\\ \\ \text{I}_4=\frac{\text{V}_2}{\text{R}_5} \end{cases}\tag2 $$

Ahora bien, no es difícil resolver \$\text{V}_2\$ :

$$\text{V}_2=\frac{\text{R}_2\text{R}_3\text{R}_5\text{V}_\text{i}}{\text{R}_1\text{R}_2\left(\text{R}_3+\text{R}_4+\text{R}_5\right)+\text{R}_1\text{R}_3\left(\text{R}_4+\text{R}_5\right)+\text{R}_2\text{R}_3\left(\text{R}_4+\text{R}_5\right)}\tag3$$

Donde utilicé el código de Mathematica para resolverlo:

In[1]:=FullSimplify[
 Solve[{I1 == I2 + I5, I5 == I3 + I4, I6 == I3 + I4, I1 == I2 + I6, 
   I1 == (Vi - V1)/R1, I2 == V1/R2, I3 == V1/R3, I4 == (V1 - V2)/R4, 
   I4 == V2/R5}, {I1, I2, I3, I4, I5, I6, V1, V2}]]

Out[1]={{I1 -> ((R3 (R4 + R5) + R2 (R3 + R4 + R5)) Vi)/(
   R1 R3 (R4 + R5) + R2 R3 (R4 + R5) + R1 R2 (R3 + R4 + R5)), 
  I2 -> (R3 (R4 + R5) Vi)/(
   R1 R3 (R4 + R5) + R2 R3 (R4 + R5) + R1 R2 (R3 + R4 + R5)), 
  I3 -> (R2 (R4 + R5) Vi)/(
   R1 R3 (R4 + R5) + R2 R3 (R4 + R5) + R1 R2 (R3 + R4 + R5)), 
  I4 -> (R2 R3 Vi)/(
   R1 R3 (R4 + R5) + R2 R3 (R4 + R5) + R1 R2 (R3 + R4 + R5)), 
  I5 -> (R2 (R3 + R4 + R5) Vi)/(
   R1 R3 (R4 + R5) + R2 R3 (R4 + R5) + R1 R2 (R3 + R4 + R5)), 
  I6 -> (R2 (R3 + R4 + R5) Vi)/(
   R1 R3 (R4 + R5) + R2 R3 (R4 + R5) + R1 R2 (R3 + R4 + R5)), 
  V1 -> (R2 R3 (R4 + R5) Vi)/(
   R1 R3 (R4 + R5) + R2 R3 (R4 + R5) + R1 R2 (R3 + R4 + R5)), 
  V2 -> (R2 R3 R5 Vi)/(
   R1 R3 (R4 + R5) + R2 R3 (R4 + R5) + R1 R2 (R3 + R4 + R5))}}

Así, la función de transferencia viene dada por:

$$\mathcal{H}:=\frac{\text{V}_2}{\text{V}_\text{i}}=\frac{\text{R}_2\text{R}_3\text{R}_5}{\text{R}_1\text{R}_2\left(\text{R}_3+\text{R}_4+\text{R}_5\right)+\text{R}_1\text{R}_3\left(\text{R}_4+\text{R}_5\right)+\text{R}_2\text{R}_3\left(\text{R}_4+\text{R}_5\right)}\tag4$$

---

Cuando queremos aplicar la derivación de arriba a su circuito tenemos que utilizar Transformada de Laplace (Utilizaré nombres de funciones en minúsculas para las funciones que se encuentran en el dominio (complejo) s, de modo que \$\text{y}\left(\text{s}\right)\$ es la transformada de Laplace de la función \$\text{Y}\left(t\right)\$ ):

$$\text{R}_2=\text{sL}\tag5$$

Ahora, para su circuito, tenemos que \$\text{R}_5\to\infty\$ . Y usando eso y usando \$(5)\$ podemos reescribir \$(4)\$ como sigue:

$$\lim_{\text{R}_5\to\infty}\mathcal{h}\left(\text{s}\right)=\frac{\text{v}_2\left(\text{s}\right)}{\text{v}_\text{i}\left(\text{s}\right)}=\frac{\text{L}\text{R}_3\text{s}}{\text{L}\text{s}\left(\text{R}_1+\text{R}_3\right)+\text{R}_1\text{R}_3}\tag6$$

He utilizado el siguiente código de Mathematica:

In[2]:=R2 = s*L;
FullSimplify[
 Limit[(R2 R3 R5)/(
  R1 R3 (R4 + R5) + R2 R3 (R4 + R5) + R1 R2 (R3 + R4 + R5)), 
  R5 -> Infinity]]

Out[2]=(L R3 s)/(R1 R3 + L (R1 + R3) s)

---

Cuando por ejemplo queremos encontrar la función magnitud/amplitud de su circuito cuando \$\text{R}_1=\text{R}_3=10\space\text{k}\Omega\$ y \$\text{L}=100\space\text{mH}\$ , obtenemos:

$$\left|\lim_{\text{R}_5\to\infty}\mathcal{h}\left(\text{j}\omega\right)\right|=\frac{\omega }{2 \sqrt{\omega ^2+2500000000}}\tag7$$

Dónde \$\omega=2\pi\text{f}\$ (donde \$\text{f}\$ es la frecuencia en hercios \$\left[\text{Hz}\right]\$ ) y \$\text{j}^2=-1\$ .

He utilizado el siguiente código de Mathematica:

In[3]:=k = (L R3 s)/(R1 R3 + L (R1 + R3) s);
s = I*\[Omega];
R1 = 10*1000;
R3 = 10*1000;
L = 100*10^(-3);
FullSimplify[
 Sqrt[(ComplexExpand[Re[k]])^2 + (ComplexExpand[Im[k]])^2], 
 Assumptions -> \[Omega] >= 0]

Out[3]=\[Omega]/(2 Sqrt[2500000000 + \[Omega]^2])

Trazando eso, da:

He utilizado el siguiente código de Mathematica:

In[4]:=Show[Plot[\[Omega]/(
  2 Sqrt[2500000000 + \[Omega]^2]), {\[Omega], 0, 2*10^5}], 
 AxesLabel -> {HoldForm[rad/s], HoldForm[Abs[V2/Vi]]}, 
 PlotLabel -> HoldForm[Magnitude], LabelStyle -> {GrayLevel[0]}]

Out[4]=(*the output is the picture shown above*)