¿Alguien puede explicar esta ecuación (sobre $\frac\pi2$ )

Question

$${\frac{\pi}{2} = \lim_{l \to \infty} \prod_{j = 1}^{l + 1} \frac{(2j)(2j)}{(2j - 1)(2j+1)}}$$

Hola a todos.

Mi primera impresión de esta ecuación es ingenua curiosidad por qué "límite" es obligatorio.

Puedo pasar la señal de límite y reemplace$l+1$$\infty$?

O Si "límite" no puede ser omitido, ¿por qué hemos de multiplicar todos los términos hasta $l+1$?

¿Cambia algo si puedo reemplazar $l+1$$l$?

Answer 1

Puedo pasar la señal de límite y reemplace$l+1$$\infty$?

Estos significan la misma cosa: $$ \prod_{j=1}^\infty\frac{2j}{2j-1}\frac{2j}{2j+1} \stackrel{\text{def}}{\equiv}\lim_{\ell\to\infty}\prod_{j=1}^\ell\frac{2j}{2j-1}\frac{2j}{2j+1} $$

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¿Cambia algo si puedo reemplazar $l+1$$l$ ?

Desde $\ell\to\infty\iff\ell-1\to\infty$, tenemos $$ \begin{align} \lim_{\ell\to\infty}\prod_{j=1}^\ell\frac{2j}{2j-1}\frac{2j}{2j+1} &=\lim_{\ell-1\to\infty}\prod_{j=1}^\ell\frac{2j}{2j-1}\frac{2j}{2j+1}\\ &\equiv\lim_{\ell\to\infty}\prod_{j=1}^{\ell+1}\frac{2j}{2j-1}\frac{2j}{2j+1} \end{align} $$

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Una forma de evaluar el producto infinito $$ \begin{align} \prod_{j=1}^{\ell}\frac{2j}{2j-1}\frac{2j}{2j+1} &=\frac{2^{2\ell}\ell!^2}{(2\ell)!}\frac{2^{2\ell+1}\ell!(\ell+1)!}{(2\ell+2)!}\\ &=\frac{2^{4\ell}\ell!^4}{(2\ell)!^2(2\ell+1)}\\ &=\left(\frac{4^\ell}{\binom{2\ell}{\ell}}\right)^2\frac1{2\ell+1} \end{align} $$ Usando la desigualdad de $(10)$ a partir de esta respuesta, obtenemos $$ \frac{\pi\left(\ell+\frac14\right)}{2\ell+1} \le\prod_{j=1}^{\ell}\frac{2j}{2j-1}\frac{2j}{2j+1} \le\frac{\pi\left(\ell+\frac13\right)}{2\ell+1} $$ Usando el Teorema del sándwich, obtenemos $$ \lim_{\ell\to\infty}\prod_{j=1}^{\ell}\frac{2j}{2j-1}\frac{2j}{2j+1}=\frac\pi2 $$

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Otra forma de evaluar el producto infinito $$ \begin{align} \prod_{j=1}^\ell\frac{2j}{2j-1}\frac{2j}{2j+1} &=\prod_{j=1}^\ell\frac{j}{j-\frac12}\frac{j}{j+\frac12}\\ &=\frac{\Gamma(\ell+1)/\Gamma(1)}{\Gamma\left(\ell+\frac12\right)/\Gamma\left(\frac12\right)}\frac{\Gamma(\ell+1)/\Gamma(1)}{\Gamma\left(\ell+\frac32\right)/\Gamma\left(\frac32\right)}\\ &=\frac{\Gamma\left(\frac12\right)\Gamma\left(\frac32\right)}{\Gamma(1)^2}\frac{\Gamma(\ell+1)\Gamma(\ell+1)}{\Gamma\left(\ell+\frac12\right)\Gamma\left(\ell+\frac32\right)}\\ &=\frac12\frac{\Gamma\left(\frac12\right)^2}{\Gamma(1)^2}\frac{\Gamma(\ell+1)^2}{\Gamma\left(\ell+\frac12\right)^2}\frac1{\ell+\frac12}\\ \end{align} $$ Por Gautschi la Desigualdad, $$ \frac\ell{\ell+\frac12}\le\frac{\Gamma(\ell+1)}{\Gamma\left(\ell+\frac12\right)}\frac1{\ell+\frac12}\le\frac{\ell+1}{\ell+\frac12} $$ Por el Teorema del encaje, $$ \begin{align} \lim_{\ell\to\infty}\prod_{j=1}^\ell\frac{2j}{2j-1}\frac{2j}{2j+1} &=\frac12\frac{\Gamma\left(\frac12\right)^2}{\Gamma(1)^2}\cdot1\\ &=\frac\pi2 \end{align} $$

Answer 2

Todas estas son buenas preguntas. Algunos comentarios:

(1) los Productos con $\infty$ como el límite superior no son realmente productos. No puedes multiplicar un número infinito de factores. La multiplicación se define como una operación binaria, por lo que sólo pueden multiplicar dos factores a la vez. Repetir esto muchas veces permite que un determinado producto; a continuación, puede intentar tomar un límite a pasar para el caso infinito, pero no cometa el error de pensar que se va a realizar un número infinito de operaciones. Lo mismo con infinitas sumas de dinero. En otras palabras, un "producto infinito" es definida como el límite de una secuencia de productos parciales (y lo mismo para "infinitas sumas de dinero").

(2) $\ell +1$ no es significativo, puede usar cualquier cosa que crece sin límite como $\ell\to\infty$

(3) No