$G$ actúa fielmente en $\Omega$ , $A\leq G$ , $A$ transitivo sobre $\Omega$ . Entonces $|C_G(A)|$ es un divisor de $|\Omega|$ .

Question

$G$ actúa fielmente en $\Omega$ , $A\leq G$ , $A$ transitivo sobre $\Omega$ . Entonces $|C_G(A)|$ es un divisor de $|\Omega|$ . Si además $A$ es abeliano entonces $C_G(A)=A$ . $G$ y $\Omega$ son finitos.

Sea $\Gamma:\Omega\times G \to \Omega$ sea la acción. Entonces la restricción $\Theta$ de $\Gamma$ a $\Omega\times A$ es una acción y se nos dice que es transitiva. Sea $|\Omega|=n$ . $\Gamma$ induce un homomorfismo $\Gamma':G\to S_n$ que es uno a uno. También $\Theta$ induce un homomorfismo $\Theta':A\to S_n$ que es la restricción de $\Gamma'$ a $A$ . Por lo tanto $\Gamma'$ es uno a uno también lo es $\Theta'$ es decir $\Theta$ es fiel.

La imagen de $G$ en $\Gamma'$ es isomorfo a $G$ y un subgrupo de $S_n$ . Por lo tanto $|G|$ divide $n!$ (1). Además, si $\alpha\in\Omega$ y $A_\alpha$ es el estabilizador de $\alpha$ en $A$ entonces $|\Omega|=|\alpha^A|= |A|/|A_\alpha|=|A|/|G_\alpha\cap A|$ (2) debido a la transitividad de $A$ . Aparte de esto no encuentro más ecuaciones que me ayuden a demostrar la afirmación. ¿Podría alguien darme una pista?

Answer 1

En primer lugar, necesitamos que $C_G(A)$ actúa de forma semirregular en $\Omega$ es decir, ningún elemento no identitario de $C_G(A)$ estabiliza un punto en $\Omega$ . Para verlo, veamos $g\in C_G(A)$ estabilizar un punto $x\in \Omega$ . Desde $A$ es transitiva en $\Omega$ para cualquier $y\in \Omega$ existe $a\in A$ tal que $xa=y$ . Pero entonces $g^a=a$ pero, como es habitual, si $g$ estabiliza $x$ entonces $g^a$ estabiliza $xa=y$ . Así $g$ estabiliza $\Omega$ y $g=1$ . Esto demuestra que $C_G(A)$ actúa de forma semirregular en $\Omega$ .

Cada órbita tiene una longitud $|C_G(A)|$ por el teorema de la órbita estabilizadora, por lo que $|C_G(A)|$ divide $|\Omega|$ según sea necesario.