El campo de división de dimensión finita está generado por un número finito de polinomios

Question

Sea $K$ sea un campo, y supongamos $F$ es un campo de división sobre $K$ de un conjunto (posiblemente infinito) de polinomios en $K[x]$ . Lo que quiero demostrar es que si $[F:K]$ es finito, entonces $F$ es un campo de división sobre $K$ de un subconjunto "finito" de $K[x]$ . Esto parece intuitivamente cierto, pero ¿cómo tengo que demostrarlo?

Answer 1

Aplicar el Teorema del Elemento Primitivo:

Desde $F/K$ es Galois y finito, existe algún $\alpha \in F$ tal que $F=K(\alpha)$ .

Porque la extensión es algebraica, $F = K[\alpha]$ y $F$ es el campo de división del polinomio mínimo de $\alpha$ .

Espero que esto sea lo que pretendía al requerir el subconjunto de $K[x]$ ser finito en cierto sentido.