Estoy tratando de resolver esta pregunta que pide una nueva variable V tal que V = $\frac{Y}{X}$ . La información dada es $\begin{align*} f(x,y)&=\frac{2x+y}{36} & 0 \leq y \leq x, \hspace{5mm} x + 2y \leq 6 \\ \end{align*}$ . Mi problema es que no puedo averiguar los límites/casos para la nueva variable V.
El primer límite es fácil. En $0 \leq y \leq x$ se convierte en $0 \leq y/x \leq 1$ . Después de esto no puedo entenderlo.
Desea conocer la distribución de probabilidad de $V$ . Intentemos hallar la función de distribución acumulativa:
$$\mathbb{P}(V\leq v) = \mathbb{P}(Y\leq vX) = \int_{y \leq vx}\tilde{f}(x,y)dxdy$$
Con
$$\tilde{f}(x,y) = \begin{cases}f(x,y) \; , & \text{ if } \; 0 \leq y \leq x, \hspace{1mm} x + 2y \leq 6 \; , \\ 0 \; , & \text{ else} \; .\end{cases}$$
He hecho un pequeño gráfico para visualizar el dominio de integración
Espero que sea lo suficientemente claro, pero se puede ver que el rango de $V$ es $[0,1]$ . Para hacer el cálculo, tendrás que encontrar la intersección entre las líneas representadas por $y = vx$ y $x+2y=6$ . Llamémoslo $(x_v,y_v)$ . Entonces su integral puede reformularse como
$$\mathbb{P}(V\leq v) = \int_{x=0}^{x_v}\int_{y=0}^{vx}\frac{2x+y}{36}dydx + \int_{x=x_v}^{6}\int_{y=0}^{3-x/2}\frac{2x+y}{36}dydx$$
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