Integre $\sqrt{1+9x^4} \, dx$

Question

Llevo al menos una hora dándole vueltas y no he avanzado mucho.

Intenté dejar que $x^2 = \frac{1}{3}\tan\theta$ ...y me metí en un lío horrible... Entonces intenté dejar que $u = x^2$ pero seguía sin encontrar una solución. Intento calcular la longitud de la curva $y=x^3$ entre $x=0$ y $x=1$ utilizando

$$L = \int_0^1 \sqrt{1+\left[\frac{dy}{dx}\right]^2} \, dx$$

pero no sirve de mucho si no puedo encontrar $$\int_0^1\sqrt{1+9x^4} \, dx$$

Answer 1

Si fija $x=\sqrt{\frac{\tan\theta}{3}}$ que tienes: $$I = \frac{1}{2\sqrt{3}}\int_{0}^{\arctan 3}\sin^{-1/2}(\theta)\,\cos^{-5/2}(\theta)\,d\theta,$$ por lo que, si establece $\theta=\arcsin(u)$ , $$I = \frac{1}{2\sqrt{3}}\int_{0}^{\frac{3}{\sqrt{10}}} u^{-1/2} (1-u^2)^{-7/2} du,$$ ahora, si establece $u=\sqrt{y}$ lo has hecho: $$I = \frac{1}{4\sqrt{3}}\int_{0}^{\frac{9}{10}} y^{-3/4}(1-y)^{-7/2}\,dy$$ y esto se puede evaluar en términos de función Beta incompleta .

Answer 2

Intente dejar que $3x^2=\tan(\theta)$ ,

o alternativamente $3x^2= \sinh(\theta)$ .