Pregunta sobre la prueba de $e$ irracionalidad

Question

Encontré un artículo con la siguiente prueba elemental de $e$ irracionalidad https://people.ohio.edu/diao/papers/Irrationality%20of%20e.pdf . Pero tengo problemas para entender un paso.

Establece que, a partir de:

$$\begin{equation} \frac{p_{n+1}}{q_{n+1}} = \frac{n p_{n} - q_{n}}{q_n} \end{equation}$$

sigue:

$$\begin{equation} q_n \geq q_{n+1} \end{equation}$$

No puedo entender por qué esto es así. ¿Alguien puede explicarlo con más detalle?

Answer 1

Ambas fracciones $$\frac{p_{n+1}}{q_{n+1}}\quad\text{and}\quad\frac{np_n-q_n}{q_n}$$ son iguales al mismo número racional, pero el primero es una fracción irreducible. Por lo tanto, y puesto que ambos numeradores y ambos denominadores son números naturales, $np_n-q_n\geqslant p_{n+1}$ y $q_n\geqslant q_{n+1}$ . En realidad, no sólo tenemos $q_n\geqslant q_{n+1}$ como, de hecho, $q_n=Nq_{n+1}$ para algunos $N\in\Bbb N$ .

Answer 2

Si (como en el artículo que citas) tienes:

$$\frac{p_{n+1}}{q_{n+1}} = \frac{n p_{n} - q_{n}}{q_n}$$

donde $p_{n+1}$ y $q_{n+1}$ son coprimos, debe tener $$q_{n+1} = \frac{q_n}{\gcd(np_n - q_n, q_n)} \le q_n$$

Answer 3

La prueba afirma que $p_n$ y $q_n$ son relativamente primos. Entonces, si reescribes $$\frac{p_{n+1}}{q_{n+1}} = \frac{n p_{n} - q_{n}}{q_n}$$ como $$p_{n+1}q_{n} = (np_{n}-q_{n})q_{n+1}$$ puede ver que $p_{n+1}$ tiene que dividir $np_{n}-q_{n}$ en palabras $np_{n}-q_{n} \ge p_{n+1}$
Ahora sólo tienes que introducir esta estimación en la primera ecuación para obtener lo que necesitas. Por cierto, buena prueba, gracias por traerlo a colación.