Geometría: Hipérbolas

Question

Me preguntaba cómo podría completar el cuadrado de esta hipérbola en particular.

$4x^2 - 5y^2 + 24y = 16$

He probado esta técnica, pero ha sido en vano:

$$4x^2 - 5(y^2 + \frac{24}{5}y) = 16$$ $$ \Rightarrow 4x^2 - 5(y + \frac{12}{5})^2 = 16 + \left(\frac{12}{5}\right)^2$$ $$\Rightarrow 4x^2 - 5(y + \frac{12}{5})^2 = \frac{544}{25} .$$

¿Estoy haciendo algo mal? En mi calculadora dice que la ecuación debe ser una hipérbola

Answer 1

Ha añadido erróneamente $\left(\frac{12}5\right)^2$ en lugar de la resta

$(2x)^2-5\{y^2-2\cdot y\cdot \frac{12}5+ (\frac{12}5)^2\}=16- \left(\frac{12}5\right)^2$

o, $(2x)^2-5\left(y- \frac{12}5\right)^2=\frac{256}{25}=\left(\frac{16}5\right)^2$ etc.

Answer 2

En primer lugar, no olvides que al factorizar ese "-5" para facilitar la "compleción de cuadrados", también hay que factorizar +24y, por lo que la ecuación se convierte en

$$4x^2 - 5(y^2 - \frac{24}{5}y ) = 16 $$

(como ya ha hecho lab bhattacharjee).

A continuación se completa el cuadrado añadiendo el término $\frac{12^2}{5^2}$ entre paréntesis. Sin embargo, ya que es en los paréntesis, lo que acabas de "añadir" al lado izquierdo de la ecuación es realmente $-5 \cdot (\frac{12^2}{5^2})$ por lo que la ecuación debe sostenerse escribiendo

$$4x^2 - 5(y^2 - \frac{24}{5}y + [\frac{12^2}{5^2}]) = 16 -5 \cdot (\frac{12^2}{5^2}) ,$$

haciendo ahora la ecuación

$$4x^2 - 5(y -\frac{12}{5})^2 = 16 -(\frac{12^2}{5}) = \frac{16 \cdot 5 - 144}{5} = \frac{-64}{5} .$$

Si ponemos la ecuación de esta hipérbola en forma estándar obtenemos

$$\frac{-5 \cdot 4x^2}{64} - \frac{-5 \cdot 5(y -\frac{12}{5})^2}{64} = 1 \Rightarrow \frac{25(y -\frac{12}{5})^2}{64} - \frac{20x^2}{64} = 1.$$

[o, por supuesto, $\frac{(y -\frac{12}{5})^2}{64/25} - \frac{x^2}{64/20} = 1$ ]

Por lo tanto, se trata de una hipérbola "vertical", con su eje focal a lo largo del eje y, ya que es el a plazo que es positivo. (La representación gráfica de la ecuación original y de esta ecuación en forma estándar confirma que son idénticas).