Existe un único número complejo, digamos $c + di$ tal que $(a + bi)(c + di) = 1$ .

Question

Demostrar que, si $a$ y $b$ son números reales, al menos uno de los cuales no es $0$ y $i = \sqrt{1}$ entonces existe un único número complejo, digamos $c + di$ tal que $(a + bi)(c + di) = 1$ .

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Proposición: Si $a$ y $b$ son números reales, al menos uno de los cuales no es $0$ y $i = \sqrt{1}$ entonces existe un único número complejo, digamos $c + di$ tal que $(a + bi)(c + di) = 1$ .

A (hipótesis): $a$ y $b$ son números reales, al menos uno de los cuales no es $0$ y $i = \sqrt{1}$ .

B (conclusión): Existe un único número complejo, digamos $c + di$ tal que $(a + bi)(c + di) = 1$ .

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Mi trabajo

B1: $(a + bi)(c + di) = 1$

$\therefore a + bi \not = 0$

B2: $c + di = \dfrac{1}{a + bi}$ donde $a + bi \not = 0$

A1: $c + di = \dfrac{1}{a + bi}$ donde $a + bi \not = 0$

$\implies (a + bi)(x + yi) = 1$ donde $a + bi \not = 0$ .

Por lo tanto, en A1 he construido el objeto especificado en la conclusión ( $c + di$ ).

Ahora, a continuación, utilizo el método de unicidad directa para demostrar que el objeto es único.

A2: Existe un número complejo $x + yi$ tal que $x + yi = \dfrac{1}{a + bi}$ .

$\implies (a + bi)(x + yi) = 1$ donde $a + bi \not = 0$

A3: $(a+bi)(x + yi) = (a + bi)(c + di)$ donde $a + bi \not = 0$

$\implies x + yi = c + di$

$Q.E.D.$

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EDIT: Mi trabajo #2

A1: $(a + bi)(c + di) = 1$

$\implies ac + adi + bic + bdi^2 = 1$

$\implies ac + adi + bic - bd = 1$

$\implies (ac - bd) + i(ad + bc) = 1$ es un número complejo, donde $(ac - bd)$ es la parte real y $i(ad + bc)$ es la parte imaginaria.

A2: Sea $ac - bd = 1$ y $ad + bc = 0$

$\therefore 1 + 0 = 1$

Por lo tanto, en A1 he construido el objeto especificado en la conclusión ( $c + di$ ).

Ahora, a continuación, utilizo el método de unicidad directa para demostrar que el objeto es único.

A3: Sea $(a + bi)(x + yi) = 1$

A4: $(a + bi)(c + di) = (a + bi)(x + yi)$ donde ( $a \lor b) \not = 0$ .

$\implies c + di = x + yi$

$Q.E.D.$

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Apreciaría enormemente que la gente se tomara la molestia de revisar mi prueba para comprobar que es correcta y me diera su opinión. Si hay algún error, por favor expliquen por qué y cuál es el procedimiento correcto.

Answer 1

El objetivo de este ejercicio es demostrar que lo que se denota por $\frac1{a+bi}$ existe de forma única . Utilizando esta notación a priori asume implícitamente la afirmación que vamos a demostrar.

Pista: En su lugar, como se ha comentado, intente encontrar explícitamente $c$ y $d$ . Para ello, observe que $(a+bi)(a-bi)$ es real, y ya se conoce la división entre reales.

Para la unicidad de tales $c+di$ podemos adoptar un argumento general:
Supongamos que $w_1$ y $w_2$ son ambas inversas de $z$ es decir $w_1z=zw_2=1$ . Entonces tenemos $$w_1 = w_1\cdot 1 = w_1zw_2=1\cdot w_2=w_2$$

Answer 2

Empezaré intentando responder a esta parte explícita de su pregunta.

Apreciaría mucho si la gente pudiera por favor tomar revisar mi prueba para la corrección y proporcionar retroalimentación. Si hay algún errores, por favor explique por qué y cuál es el procedimiento correcto.

En su primer intento comience con la declaración $$(a+bi)(c+di) = 1 .$$ Dado que todo lo que sabes de la hipótesis es el número $a+bi$ esa afirmación inicial no tiene sentido. No hay $c+di$ en la hipótesis. Ninguna prueba correcta podría empezar así.

Sobre su A1 usted dice

Por lo tanto, en A1 he construido conclusión (c+di).

pero eso no es cierto. Usted acaba de escrito " $1/(a+bi) = x+yi$ ". Para construir tiene que decirnos los valores de $x$ y $y$ en términos de $a$ y $b$ .

¿Por dónde empezar? Le sugiero que piense en un ejemplo. Supongamos que empieza por $a+bi = 3+4i$ . Entonces lo que debes hacer es encontrar algún número complejo (aún desconocido) $c+di$ para que $$(3+4i)(c+di) = 1 .$$

Bueno, la segunda línea en su A1 "prueba" dice que sabes qué hacer a continuación: $$(3+4i)(c+di) = (3c -4d) + (3d + 4c)i = 1 .$$ Eso te dice $$\begin{align} 3c - 4d & = 1 \\ 3d + 4c & = 0 \end{align}$$ Ahora puedes resolver esas dos ecuaciones simultáneas en dos incógnitas y demostrar que tienen solución única.

Una vez comprendido el ejemplo $3+4i$ se puede hacer lo mismo algebraicamente para el número complejo general $a+bi$ .

Pista. Tu respuesta tendrá una raíz cuadrada. En el ejemplo esa raíz cuadrada resultó ser un número entero.

Nota. Esta es una manera bastante larga de hacer la prueba. Hay formas más inteligentes y cortas. Pero así es como se podría abordar el problema sin conocer las cosas inteligentes.

Editar para responder a la última pregunta del OP.

Hay varias formas de demostrar que la inversa $c+di$ es único. Una es observar que las ecuaciones anteriores que resolviste para hallarla tienen solución única. Otra es observar que para tres números complejos cualesquiera $\alpha$ , $\beta$ y $\gamma$ con $\alpha \ne 0$ si $$\alpha \beta = \alpha \gamma$$ entonces $$\alpha (\beta - \gamma) = 0$$ así que $$\beta - \gamma = 0$$ (no porque "dividir por $\alpha$ " - porque se comprueba la aritmética) de ahí $$\beta = \gamma.$$

Answer 3

Parece que ambas pruebas son extrañas o incompletas.

$\dfrac1{a+bi}=\dfrac{a}{a^2+b^2}-\dfrac{b}{a^2+b^2}i$

Se trata de un número complejo único.