El límite en cuestión es \lim_{n\to {\infty}} \sum_{j=1}^n \frac{j}{n^2 +j^2}
y estoy tratando de abordarlo a través de sumas de Riemann. Creo que se puede elegir una partición ( aunque no estoy del todo seguro de por qué ), tal que la longitud de cada subintervalo \Delta x_i=\frac{j-(j-1)}{n}=\frac{1}{n} . A continuación, elija el punto c_i=\frac{j}{n}\in \Delta x_i . Ahora j=c_i \cdot n . Y la suma puede reescribirse como \sum_{j=1}^n \frac{c_in}{n^2(1+c_i^2)}=\sum_{j=1}^n \frac{c_i}{n(1+c_i^2)}
Lo que obviamente es incorrecto ya que hay un n en el denominador. De todos modos, creo que el punto aquí es aplicar \lim_{n\to {\infty}} (\sum_{j=1}^n f(c_i)\Delta x_i) = \int_a^b f(x) dx
Y entonces b=1 , a=0 . Debido a 0\leq \frac{j}{n^2 +j^2} \leq 1 Sin embargo, creo que no he entendido muy bien el concepto de sumas de Riemann y me gustaría recibir ayuda.