Evalúe $\lim_{n\to {\infty}} \sum_{j=1}^n \frac{j}{n^2 +j^2}$

Question

El límite en cuestión es $$\lim_{n\to {\infty}} \sum_{j=1}^n \frac{j}{n^2 +j^2}$$

y estoy tratando de abordarlo a través de sumas de Riemann. Creo que se puede elegir una partición ( aunque no estoy del todo seguro de por qué ), tal que la longitud de cada subintervalo $\Delta x_i=\frac{j-(j-1)}{n}=\frac{1}{n}$ . A continuación, elija el punto $c_i=\frac{j}{n}\in \Delta x_i$ . Ahora $j=c_i \cdot n$ . Y la suma puede reescribirse como $$\sum_{j=1}^n \frac{c_in}{n^2(1+c_i^2)}=\sum_{j=1}^n \frac{c_i}{n(1+c_i^2)}$$

Lo que obviamente es incorrecto ya que hay un $n$ en el denominador. De todos modos, creo que el punto aquí es aplicar $$\lim_{n\to {\infty}} (\sum_{j=1}^n f(c_i)\Delta x_i) = \int_a^b f(x) dx$$

Y entonces $b=1$ , $a=0$ . Debido a $$0\leq \frac{j}{n^2 +j^2} \leq 1$$ Sin embargo, creo que no he entendido muy bien el concepto de sumas de Riemann y me gustaría recibir ayuda.

Answer 1

Tenemos $$ \sum\limits_{j = 1}^n {\frac{j}{{n^2 + j^2 }}} = \frac{1}{n}\sum\limits_{j = 1}^n {\frac{{j/n}}{{1 + (j/n)^2 }}} \to \int_0^1 {\frac{x}{{1 + x^2 }}dx}=\frac{1}{2}\log 2 . $$

Answer 2

$$\sum_{k=1}^n\frac k{n^2+k^2}=\frac1n\sum_{k=1}^n\frac{\frac kn}{1+\left(\frac kn\right)^2}\xrightarrow[n\to\infty]{}\int_0^1\frac x{1+x^2}dx=\ldots$$