En un espacio de Hilbert $x_n \overset{\text{w}}{\to} x$ y $y_n \to y$ . Prueba $\langle x_n, y_n \rangle \to \langle x, y \rangle$

Question

Propuesta

En un espacio de Hilbert, supongamos $x_n \overset{\text{w}}{\longrightarrow} x$ y $y_n \longrightarrow y$ . Entonces, $\langle x_n, y_n \rangle \longrightarrow \langle x, y \rangle$ .

Prueba

Por definición de convergencia débil, tenemos para cualquier funcional lineal acotado $f \in H'$

\begin{align} \lim f(x_n) = f(x) &\implies \lim\langle x_n, y\rangle = \langle x, y\rangle \\ &\implies \lim \langle x_n- x, y\rangle = 0 \end{align} A partir de ahí observamos

\begin{align} 0 \leq |\langle x_n, y_n\rangle - \langle x, y\rangle| &= |\langle x_n, y_n\rangle -\langle x, y_n\rangle + \langle x, y_n\rangle - \langle x, y\rangle| \\ &\leq |\langle x_n, y_n\rangle -\langle x, y_n\rangle | + |\langle x, y_n\rangle - \langle x, y\rangle| \\ &= |\langle x_n - x, y_n\rangle| + |\langle x, y_n - y\rangle| \longrightarrow 0 \end{align}

como $n \longrightarrow \infty$ .

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Me pareció demasiado simple. Así que estoy solicitando a la verificación o donde me equivoqué. Gracias.

Answer 1

Nota: Como señala Evan William Chandra a continuación de su pregunta, el último paso no es válido, porque $y_n$ no permanece fija como $n$ crece. Esto significa que en este caso no se puede utilizar la convergencia débil. Sin embargo, tu idea puede modificarse fácilmente.

Tenemos que

$$\langle x_n,y_n\rangle-\langle x,y\rangle= \langle x_n,y_n-y\rangle+\langle x_n-x,y\rangle.\ \ \ (1)$$

Por convergencia débil $\langle x_n-x,y\rangle\rightarrow 0$ . Además, una secuencia débilmente convergente está acotada. En consecuencia, $\exists M>0$ tal que $||x_n||\leq M,\ \forall n\in \mathbb{N}$ y Cauchy-Schwarz da como resultado que

$$\langle x_n,y_n-y\rangle\leq ||x_n||\cdot||y_n-y||\leq M\cdot||y_n-y||\rightarrow 0,$$

como $n$ se aproxima al infinito (porque $y_n\rightarrow y$ ). Por último, $\langle x_n-x,y\rangle\rightarrow 0$ y $\langle x_n,y_n-y\rangle$ . Así que.., $(1)$ da el resultado deseado.