¿Qué representa físicamente el número de Chern?

Question

En 2D el número de Chern puede escribirse como

$$C_m=\frac 1{2\pi}\int_{BZ}\Omega_m(\mathbf k)\cdot d^2 \mathbf k$$

donde estamos integrando sobre la zona de Brillouin.

En 2D esto equivale a encontrar el "flujo" de la curvatura de Berry a través de toda la superficie del toroide. Me cuesta entender qué significa esto. Lo que yo entiendo es que la curvatura de Berry es un "campo" "invariante gauge" (¿es que simplemente elegimos una fase diferente para la función propia?) que se puede encontrar tomando el rizo del vector de Berry (que no es invariante gauge).

Las matemáticas parecen bastante sencillas, pero no consigo entender qué significa todo esto en un sentido físico.

También tengo entendido que la conductancia Hall puede ser proporcional al número de Chern con múltiplos enteros. De nuevo, esto no tiene sentido para mí más que un truco matemático. ¿Cuál es la motivación de esto y por qué es importante?

Answer 1

Físicamente, me gusta verlo de la siguiente manera:

Estás viendo una evolución adiabática de un electrón confinado en alguna banda de energía $n$ . De alguna manera proyectas la presencia de otros estados en otras bandas $m\neq n$ . Aún así estas bandas ignoradas afectan a la dinámica de su estado adiabático.

Cuando otras bandas se acercan a la energía del estado propio adiabático, la curvatura de Berry aumenta. Si se alejan, la curvatura de Berry disminuye.

Para algunas intuiciones sobre el QHE recomiendo Conferencia Nobel de Laughlin ¡! Para resumir (me guío muy poco por el libro de Bohm sobre Fases Geométricas): la idea básica es considerar un gas de electrones bidimensional (2DEG) sobre un cilindro finito. Perpendicular al 2DEG tienes un campo magnético constante $B$ . Imagina que cambias el flujo magnético a través del cilindro por $\delta\phi$ . Esto cambia la energía del sistema en una cantidad

$$ \delta U = I \delta \phi, $$

donde $I$ es la corriente azimutal inducida. Si enhebramos este flujo de forma adiabática y elegimos $\delta\phi$ como el cuanto de flujo $h/e$ el sistema a granel vuelve a su estado inicial. Sin embargo, en este proceso el $z$ -La localización de los estados propios cambia. Esto significa que si se aplica una tensión eléctrica $\delta V$ a lo largo de esta dirección cambias la energía en

$$ \delta U = n e \delta V, $$

donde $n$ es el número de electrones desplazados de un borde al otro. Combinando los dos resultados se ve que

$$ \begin{align} \sigma &= \frac{I}{\delta V} = \frac{1}{\delta V} \frac{\delta U}{\delta \phi} = \frac{ n e}{\delta \phi} = \frac{n e^2}{\hbar}. \end{align} $$

Se puede encontrar un tratamiento más riguroso de este argumento, por ejemplo aquí .

Como sabe, este número entero $n$ es en realidad un invariante topológica de su estructura de banda electrónica. Podría ser fácil calcular el efecto Hall para los 2DEG, como por ejemplo hicieron T. Ando et al. en 1975 (véase aquí ) ¡antes del descubrimiento de la QHE por von Klitzing! Sin embargo, esto deja muchas preguntas abiertas. Por ejemplo, ¿por qué la QHE es tan ridículamente precisa? Los experimentos de von Klitzing revelaron una precisión muy elevada.

Estas propiedades son dilucidadas por la física de fases de Berry debido a su conexión con la teoría matemática del Clases de Chern .

Answer 2

El número de Chern da información sobre la función de onda.

En la zona de Brillouin, pasamos de la dependencia espacial a la dependencia del momento para la función de onda.

A veces no podemos definir una función de onda para toda la zona de Brillouin.

Lo que ocurre es que una sola función no cubrirá toda la zona, por lo que tendremos que definir dos partes.

El número Chern le indicará si este es el caso.

Answer 3

En primer lugar, la conexión entre la conductividad transversal y la media de la zona de Brillouin de la curvatura de Berry no es un "truco matemático", sino que se puede derivar utilizando la teoría de respuesta lineal - se encuentra que los coeficientes de conductividad se dan en términos de la fórmula de Kubo. Esta fórmula sólo implica proyecciones y, por tanto, es invariante gauge.

Si se introduce la proyección sobre una banda única y aislada (es decir, sin intersecciones con otras bandas), se puede ver fácilmente que se reduce a la expresión ordinaria de la curvatura de Berry. Si se tienen familias de bandas, por ejemplo, todas las bandas hasta la energía de Fermi (que se supone que se encuentra en un hueco), se obtiene la traza sobre la curvatura de Berry multibanda.

Aquí no se juega con trucos matemáticos. El único hecho no evidente es que la media de la zona de Brillouin del número de Chern es necesariamente de valor entero. Para ello, una aproximación consiste en construir el haz vectorial de Bloch asociado a la proyección de Fermi, y vemos que la curvatura de Berry es, en un sentido matemático, la curvatura de este haz vectorial de Bloch. Para una curvatura de Berry dada se puede elegir localmente (¡!) una conexión: la conexión de Berry. Al igual que ocurre con los potenciales vectoriales en electromagnetismo, en este caso hay que elegir un gauge.

El número de Chern mide si existe una obstrucción a la elección de un calibre global - esto es posible si y sólo si el número de Chern es cero. La teoría de clasificación de haces vectoriales dice que el número de Chern es necesariamente un número entero. Esto puede ser matemáticamente abstracto, pero no hay magia de por medio.

Nótese que ninguno de estos argumentos invoca "cambios adiabáticos en los parámetros". Esta elección de palabras me parece engañosa y matemáticamente incorrecta. Lo que la gente describe cuando invoca "cambios adiabáticos en los parámetros" no es más que transporte paralelo de vectores con la ayuda de una conexión.