Puede una variedad algebraica ser descrito como una categoría, de la misma manera como un grupo? Un grupo puede ser considerado como una categoría con un objeto, con elementos del grupo de los morfismos en el objeto.
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Jeff
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El conjetural observaciones por Qiaochu son apoyados por el siguiente teorema (trabajo conjunto con Alexandru Chirvasitu):
Deje $X,Y$ ser esquemas, donde $X$ es cuasi-compacto y cuasi-separados. A continuación, $f \mapsto f^*$ establece una equivalencia entre el $\hom(Y,X)$ y la categoría de cocontinuous monoidal simétrica functors $\mathsf{Qcoh}(X) \to \mathsf{Qcoh}(Y)$.
Por lo tanto, la categoría de (buen) esquemas incorpora plenamente fielmente en el $2$-categoría de cocomplete monoidal simétrica categorías. Grandes partes de la geometría algebraica puede ser traducido y generalizada por medio de esta incrustación; esto será esperemos que se explica en detalle en mi tesis. Por ejemplo, bajo adecuado finitud supuestos, se puede construir el "proyectiva tensor de paquete" $\mathbb{P}_{\otimes}(\mathcal{E})$ para un objeto $\mathcal{E}$ de un cocomplete monoidal simétrica categoría $\mathcal{C}$, la cual clasifica invertible cocientes de $\mathcal{E}$, y al $\mathcal{C}=\mathsf{Qcoh}(S)$ para algunos esquema de $S$ esto coincide con $\mathsf{Qcoh}(\mathbb{P}_S(\mathcal{E}))$.
En esta imagen, la estructura monoidal es crucial; hay una gran cantidad de auto-equivalencias de $\mathsf{Qcoh}(X)$ que no son inducidos por automorfismos de a $X$. Por otro lado, si $X,Y$ son cuasi-separados los esquemas que $\mathsf{Qcoh}(X)$ $\mathsf{Qcoh}(Y)$ son equivalentes como categorías abstractas, a continuación, $X$ $Y$ son isomorfos; este es un muy profundo teorema (demostrado por Gabriel para noetherien esquemas, generalizado por Rosenberg y corregido por Gabber) y ha motivado una nueva perspectiva sobre la no-conmutativa geometría algebraica utilizando abelian categorías (véase la obra de Artin, Zhang, Rosenberg y otros).
La respuesta es sí, en un sentido, pero no se parece nada a el resultado para los grupos. La versión fácil del resultado es afín variedades y dice lo siguiente. Fijar una algebraicamente cerrado campo de $k$.
Teorema ("Gabriel-Rosenberg reconstrucción"): Una variedad afín $X$ puede ser reconstruido a partir de la ($k$-lineal) abelian categoría de módulos sobre el anillo de funciones regulares $k[X]$.
La idea de la prueba es que podemos recuperar $k[X]$ ($k$- álgebra) por un general categórica construcción llamada el centro de una categoría; ver este post en el blog para más detalles. Hay una versión más difícil de este teorema para no-necesariamente-afín no-necesariamente-variedades en las que la categoría de los módulos se sustituye por la categoría de quasicoherent poleas en $X$. No sé nada acerca de esto.
En una versión anterior de esta respuesta que he tratado de promover la asignación de $X \mapsto k[X]\text{-Mod}$ a un functor de tal manera que era fiel y completa, pero como resulta que la forma natural de hacer esto, parece exigir que un functor contravariante en lugar de un functor covariante. No he trabajado más detalles aquí; parte de estas diapositivas discutir brevemente la historia. (Creo que el teorema de Lurie citado no es Teorema 5.11 en Tannaka Dualidad Geométrica Pilas.)
El problema es el siguiente. Si $R, S$ son dos anillos y $f : R \to S$ es una de morfismos, $f$ induce dos functors inducido entre sus categorías de módulos. Una de ellas podría ser la llamada "restricción"
$$S\text{-Mod} \to R\text{-Mod}$$
y es obtenido con respecto a una $S$-módulo de $R$-módulo de con $R$ actuando a través de $f$. El otro puede ser llamado "inducción"
$$R\text{-Mod} \to S\text{-Mod}$$
y es obtenido por tensoring con $S$$(S, R)$ -bimodule. Los dos functors son adjoints. Al $R, S$ son conmutativas, la inducción parece ser el más geométricamente natural functor mientras que yo estaba tratando de hacer las cosas utilizando la restricción. Inducción satisface diversas buenas propiedades y uno podría esperar a los functors $R\text{-Mod} \to S\text{-Mod}$ derivadas de un morfismos $R \to S$ por algunos categórica de la propiedad. Este parece ser factible cuando se $R, S$ son conmutativas, pero no he trabajado a través de los detalles.
