El regulador de un campo numérico $K$ suele presentarse al principio de los libros de teoría algebraica de números, junto con el grupo de números de clase, el teorema de la unidad de Dirichlet...
Pero la única prueba de que $R_K\neq0$ suele implicar funciones L y la fórmula del número de clase.
¿Existe alguna prueba "elemental" de esto? (con esto quiero decir, una que no involucre funciones L)
El teorema de la unidad de Dirichlet establece explícitamente que si $|\cdot |_1, \ldots, |\cdot |_r$ son los valores absolutos reales y $|\cdot |_{r+1},\ldots, |\cdot|_{r+s}$ son los complejos, entonces el mapa log
$$l:\begin{cases}\mathcal{O}_K\to \Bbb R^{r+s} \\ l(\alpha) = (\log |\alpha|_1,\ldots , \log |\alpha|_r, \log|\alpha|_{r+1},\ldots, \log |\alpha|_{r+s})\end{cases}$$
con núcleo $\mathcal{O}_K^\times$ es de rango máximo en la traza- $0$ subespacio $\left\{\mathbf{x}\in\mathbb{R}^{r+s} : \sum_i x_i = 0\right\}$ .
Esto significa que es un enrejado, lo que por definición significa que $\mathcal{O}_K$ tiene $r+s-1$ $\Bbb R$ -vectores linealmente independientes dentro de ella. Pero entonces $R_K$ se define como el volumen del paralelopípedo abarcado por un $\Bbb Z$ -para este entramado, lo que -al tener rango máximo- implica que el volumen es distinto de cero por álgebra lineal, ya que es el valor absoluto del determinante de la matriz formada por estos vectores. Dado que un determinante es distinto de cero si los vectores son $\Bbb R$ -linealmente dependiente, y sabemos que no es así por Dirichlet, la regular no desaparece.
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