¿Es válido el análisis dimensional para las integrales

Question

¿Podemos aplicar el análisis dimensional para variables dentro de integrales? Ej: si tenemos integrales $$\int \frac{\text{d}x}{\sqrt{a^2 - x^2}} = \frac{1}{a} \sin^{-1} \left(\frac{a}{x}\right),$$ el LHS no tiene dimensiones, mientras que el RHS tiene dimensiones de $\frac{1}{length}$ . Dígame si estoy en lo cierto.

Answer 1

Sí, se puede aplicar el análisis dimensional a las integrales. Se cuentan diferenciales como $dx$ como si tuvieran las unidades de la variable asociada, porque $dx$ puede interpretarse como un cambio infinitesimal en $x$ .

En su ejemplo, si $a$ y $x$ tienen unidades de distancia, entonces comprobar las unidades en tu resultado muestra que es incorrecto. La integral correcta no tiene el factor de $1/a$ .

Answer 2

Para ser más explícito sobre los comentarios de Ben Crowell: Que $u = \frac xa$ Así que $dx = adu$ y la integración se convierte en $$\int \frac{dx}{\sqrt{a^2-x^2}} = \int \frac{adu}{\sqrt{a^2-a^2u^2}} = \int \frac{du}{\sqrt{1 - u^2}} = \sin^{-1} u + C = \sin^{-1}\frac xa + C$$ (suponiendo que $a> 0$ ).

Desde $a$ y $x$ deben tener las mismas unidades para la expresión $a^2 - x^2$ para que tenga sentido, vemos que $u$ es adimensional, como lo es el integrando en las 3 versiones, y como lo es la integral correcta.

Answer 3

Sí que puedes. Piensa en una integral $\int g(x) dx$ como la suma $\sum g(x) \Delta x$ . En cada término de tu suma (muy grande), puedes aplicar el análisis dimensional.

Answer 4

Su integral tiene una simetría: si mapea $a \mapsto k a$ y luego $x \mapsto kx$ tu RHS dice:

$$ \sin^{-1} \frac{a}{x} \mapsto \sin^{-1} \frac{ka}{kx} = \sin^{-1} \frac{a}{x} $$

Ha ido bien... ¿y el lado izquierdo? ¿Era eso también invariante?

$$ \int \frac{dx}{\sqrt{a^2 -x^2}} \mapsto \int \frac{d(kx)}{\sqrt{(ka)^2 -(kx)^2}} = \int \frac{k\,dx}{k\sqrt{a^2 -x^2}} = \int \frac{dx}{\sqrt{a^2 -x^2}}$$ Por tanto, según las reglas del cálculo, estas integrales son ambas puntos fijos de la acción de reescalado $(a,x) \mapsto (ka,kx)$ . Aquí sí que necesitábamos la linealidad de la integral y la diferencial $\int$ y $d$ .

Incluso puede haber otras simetrías. Por un lado, RHS es no a menos que - pueda ser pensado como un ángulo $\theta$ con unidades de radianes . ¿Qué ocurre cuando cambiamos la constante de integración $\theta \mapsto \theta + c $ ?