demostrar que $K=E_2[\omega_{12}(E_1)]-E_1[\omega_{12}(E_2)]-\omega_{12}(E_1)^2-\omega_{12}(E_2)^2$ ?

Question

$$K=E_2[\omega_{12}(E_1)]-E_1[\omega_{12}(E_2)]-\omega_{12}(E_1)^2-\omega_{12}(E_2)^2$$

donde $K$ es la curvatura gaussiana, $E_i$ son el campo del marco tangente en la superficie $M$ en $R^3$ , $v[\cdot ]$ es la derivada direccional en $v$ dirección, $\omega_{ij}$ es la forma de conexión.

mi libro de texto da una pista que escribir $\omega_{12}=f_1\theta_1+f_2\theta_2$ donde $f_i=\omega_{12}(E_i)$ , $\theta_i$ es de forma dual, y utilizar $$d\omega_{12}=-K\theta_1\wedge \theta_2,$$ donde $\wedge $ es producto de cuña. (O'Neil, sección 6.3 ejercicio 2-(a))

Tengo problemas con cómo tomar la derivada exterior de $\omega_{12}$ , confundido si $f_i$ es 1-forma o no(parece que no ya que las formas duales son 1-forma)

Answer 1

En $f_i$ son, en efecto, funciones escalares. Necesitas tres ingredientes:

• la regla del producto
• las fórmulas $(df_1\wedge\theta_1)(E_1,E_2)=-df_1(E_2)$ etc.
• las ecuaciones de estructura para $d\theta_i$ .