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Definición de un colector con una frontera

Lee en su libro sobre variedades topológicas dice que

En $n$ -con un límite es un segundo espacio Hausdorff contable en el que cualquier punto tiene una vecindad que es homeomorfa a un subconjunto abierto de $\mathbb R^n$ o a un subconjunto abierto de $\mathbb H^n = \{x\in \mathbb R^n:x_n\geq 0\}$ dotado de un Topología euclidiana .

Según tengo entendido, se refiere a la topología euclidiana, que es una topología basada en la métrica euclidiana y, por tanto, coincide con la topología subespacial.

¿No es equivalente decir que

En $n$ -con un límite es un segundo espacio Hausdorff contable en el que cualquier punto tiene una vecindad que es homeomorfa a un subconjunto abierto de $\mathbb H^n = \{x\in \mathbb R^n:x_n\geq 0\}$ dotado de un Topología euclidiana .

En cuanto a mí, ya que $\operatorname{Int}\mathbb H^n\approx \mathbb R^n$ por el homeomorfismo $\varphi(x_1,...,x_n) = (x_1,...,\log x_n)$ estas afirmaciones son equivalentes, pero tal vez me estoy perdiendo algo o hay otra razón para poner ambos $\mathbb H^n$ y $\mathbb R^n$ en la definición.

Supongo que mi pregunta no itersects con Acerca de las definiciones de colector topológico con límite desde $\mathbb H^n$ no es homemórfico a $\overline{B_n}$ - unidad cerrada bola en $\mathbb R^n$ .

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rck Puntos 121

Sí, son equivalentes.

Pero su forma de escribir tiene ventajas pedagógicas/expositivas:

  1. Queda claro qué es añadido en comparación con la definición de colector.
  2. Prepara el camino para definir las variedades con esquinas como una generalización más.
  3. Permite afirmar que un punto límite es un punto cuya vecindad no puede ser homeomórfica a un subconjunto abierto de $\mathbb{R}^n$ .

A veces la forma más eficaz de escribir las cosas no es la más esclarecedora.

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