Condición de finitud de cierre

Question

Creo que la condición de "finitud de cierre" para el complejo CW es superflua. Sea $e$ sea una celda en un espacio CW $X$ . Entonces, existe un mapa característico $f:D^m\rightarrow X$ que asigna $int(D^m)$ homeomórficamente en $e$ . Desde $D^m$ es compacto y $X$ es Hausdorff, tenemos $f(D^m)=\bar e$ . Esto implica que $\bar e$ es compacto. Dado que las celdas cubren $X$ debe existir un número finito de celdas que cubran $\bar e$ . ¿En qué me he equivocado?

Answer 1

Las células no son subconjuntos abiertos de $X$ por lo que no es obvio que sólo finitamente muchos de ellos deben cubrir el conjunto compacto $\overline{e}$ . Es posible demostrar que un subconjunto compacto de un complejo CW sólo está contenido en un número finito de celdas, ¡pero la prueba utiliza el axioma de cierre finito!

Si todavía te cuesta entenderlo, aquí tienes el contraejemplo estándar. Tomemos $X$ ser una $2$ -disco. Digamos que tiene un $2$ -celda (con $\Phi$ sólo el mapa de identidad) y un $0$ -para cada punto de la frontera del disco. Esto satisface todos los axiomas excepto el de finitud de cierre, pero el cierre de la célula $2$ -La célula está formada por un número incontable de $0$ -células.