Desigualdad de Bernoulli mediante el teorema binomial

Question

Demuestra que $(1+x)^n \geq1+nx$ para $n \in \Bbb N$ y $x > -1$ .

Yo caso: $x \geq 0$

Esto es obvio, ya que $(1+x)^n = \sum\limits_{i=0}^n{n \choose i}x^i=1+nx+{n \choose 2}x^2+...+nx^{n-1}+x^n \geq 1+nx$ ya que todos los términos son positivos.

Y aquí empieza mi lucha: Supongo que necesito dividir el intervalo $(-1,0)$ en dos subintervalos $\left(-1, -\frac{1}{n}\right)\cup\left[-\frac{1}{n},0\right)$ :

II caso: $x\in \left(-1, -\frac{1}{n}\right)$

Una vez más tengo que probar:

$\frac{n(n-1)}{2}x^2+\frac{n(n-1)(n-2)}{6}x^3+...+nx^{n-1}+x^n \geq 0$

Obviamente, todos los términos con $x^{2k}, k=1,2,...$ son positivos, pero no estoy seguro de qué hacer con el resto.

Answer 1

Por lo tanto, sólo tenemos que demostrar para el caso $-1<x<0$ ¿verdad?

$$ \begin{align} (1+x)^n \geq1+nx & \iff (1+x)^n -1 \geq nx \\ & \iff (1+x-1)\sum_{i=0}^{n-1}(1+x)^i \geq nx \\ & \iff \sum_{i=0}^{n-1}(1+x)^i \leq n \tag{1} \end{align} $$ En $-1<x<0$ deducimos que $0<(1+x)<1$ o $(1+x)^i<1$ para todos $i=0,..,n-1$ . Concluimos que $(1)$ se cumple y por tanto $(1+x)^n \geq1+nx$ también es cierto. Q.E.D

Answer 2

Para $x\in [-1,0)$ utilizar la inducción en $n:$

El caso base $n=1$ es trivial.

Supongamos que $(1+x)^n\ge 1+nx.$ Tenemos:

$(i).$ Si $1+nx\le 0$ entonces $1+(n+1)x<1+nx\le 0\le (1+x)^{n+1}.$

$(ii). $ Si $1+nx> 0$ entonces, puesto que $(1+x)^n\ge 1+nx>0$ y $1+x\ge 0,$ tenemos $$(1+x)^{n+1}=(1+x)^n\cdot (1+x)\ge$$ $$\ge(1+nx)\cdot (1+x)=$$ $$=1+(n+1)x+nx^2>$$ $$>1+(n+1)x.$$