En concreto, ¿es posible que un anillo noetheriano $R$ tener $R[x]$ ¿Noetheriano? Todas las referencias que he visto para el teorema de la base de Hilbert sólo indican la dirección " $R$ Noetheriano $\Rightarrow$ $R[x]$ Noetheriano", lo que sin duda parece implicar que lo contrario es falso. Por desgracia, es difícil pensar en anillos no noetherianos, y en lo que estoy seguro es el ejemplo favorito de la mayoría de la gente, $K[x_1,x_2,\ldots]$ para un campo $K$ obviamente no nos va a ayudar aquí.
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kevtrout
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Querido Zev,
Algunas fuentes afirman lo contrario. Véanse, por ejemplo, las pp. 64-65 de
http://alpha.math.uga.edu/~pete/integral.pdf
A este respecto, véanse también las pp. 32-33 de loc. cit. para el Teorema Chino del Resto y su inverso. (Y no soy el único que lo hace...)
Nótese que en ambos casos se deja la inversa como ejercicio. Creo (evidentemente) que este es el camino correcto a seguir: puede que no sea tan fácil para el matemático novato llegar al enunciado de la inversa, pero habiendo visto el enunciado es un ejercicio muy valioso llegar a la demostración. (En particular, creo que en un texto o curso de matemáticas de nivel universitario avanzado y superior, la mayoría de los ejercicios deberían ser, en efecto, cosas que uno podría encontrar útiles más adelante, y no sólo cosas difíciles de demostrar pero merecidamente olvidables).
Finalmente, por casualidad, ayer mismo en mi curso de posgrado sobre campos locales llegué a la demostración del "teorema del producto tensorial" sobre la clasificación de las normas en una extensión de campo de dimensión finita (que surgió en una respuesta anterior de MO). La idea clave de la demostración, que me resultó un poco difícil de escribir; admito sin duda la posibilidad de mejorar la exposición, parece estar sospechosamente cerca del análogo teórico de la valoración de la inversa del Teorema Chino del Resto. Véanse las páginas 18-19 de
http://alpha.math.uga.edu/~pete/8410Capitulo2.pdf
si le interesa.
